Математика: Комбинаторика и перебор.

Hапечатать все последовательности длины N из чисел 1,2,...,M.

Всего таких последовательностей будет M^N (докажите!). Чтобы понять. как должна действовать процедура Next, начнем с примеров. Пусть N=4,M=3. Тогда:

Теперь можно написать общую процедуру Next:

	 procedure Next;
	   begin
	     {найти i: X[i]<M,X[i+1]=M,...,X[N]=M};
	     X[i]:=X[i]+1;
	     X[i+1]:=...:=X[N]:=1
	   end;

Если такого i найти не удается, то следующей последовательности нет - мы добрались до последней (M,M,...,M). Заметим также, что если бы членами последовательности были числа не от 1 до M, а от 0 до M-1, то переход к следующей означал бы прибавление 1 в M-ичной системе счисления. Полная программа на Паскале выглядит так:

    program Sequences;
      type Sequence=array [byte] of byte;
      var M,N,i:byte;
	  X:Sequence;
	  Yes:boolean;
      procedure Next(var X:Sequence;var Yes:boolean);
	var i:byte;
      begin
	i:=N;
	{поиск i}
	while (i>0)and(X[i]=M) do begin X[i]:=1;dec(i) end;
	if i>0 then begin inc(X[i]);Yes:=true end
	else Yes:=false
      end;
    begin
      write('M,N=');readln(M,N);
      for i:=1 to N do X[i]:=1;
      repeat
	for i:=1 to N do write(X[i]);writeln;
	Next(X,Yes)
      until not Yes
    end.

Решение через рекурисю.

Опишем рекурсивную процедуру Generate(k), предъявляющую все последовательности длины N из чисел 1,...,M, у которых фиксировано начало X[1],X[2],...,X[k]. Понятно, что при k=N мы имеем тривиальное решение: есть только одна такая последовательность - это она сама.
При k<N будем сводить задачу к k+1:

	  procedure Generate(k:byte);
	    var i,j:byte;
	  begin
	    if k=N then
	      begin for i:=1 to N do write(X[i]);writeln end
	    else
	      for j:=1 to M do
		begin X[k+1]:=j; Generate(k+1) end
	  end;

Основная программа теперь выглядит очень просто:

	program SequencesRecursion;
	  type Sequence=array [byte] of byte;
	  var M,N:byte;
	      X:Sequence;
	  procedure Generate(k:byte);
	       ............
	begin
	  write('M,N=');readln(M,N);
	  Generate(0)
	end.

Вверх по странице, к оглавлению и навигации.