Математика: Комбинаторика и перебор.

Hапечатать все перестановки чисел 1..N.

Всего таких перестановок будет N!=N*(N-1)*...*2*1 (докажите!). Для составления алгоритма Next зададимся вопросом: в каком случае i-ый член перестановки можно увеличить, не меняя предыдущих? Ответ: если он меньше какого-либо из следующих членов (членов с номерами больше i).

Мы должны найти наибольшее i, при котором это так, т.е. такое i, что X[i]<X[i+1]>...>X[N] (если такого i нет, то перестановка последняя). После этого X[i] нужно увеличить минимально возможным способом, т.е. найти среди X[i+1],...,X[N] наименьшее число, большее его. Поменяв X[i] с ним, остается расположить числа с номерами i+1,...,N так, чтобы перестановка была наименьшей, то есть в возрастающем порядке. Это облегчается тем, что они уже расположены в убывающем порядке:

	   procedure Next;
	   begin
	     {найти i: X[i]<X[i+1]>X[i+2]>...>X[N]};
	     {найти j: X[j]>X[i]>X[j+1]>...>X[N]};
	     {обменять X[i] и X[j]};
	     {X[i+1]>X[i+2]>...>X[N]};
	     {перевернуть X[i+1],X[i+2],...,X[N]};
	   end;

Теперь можно написать программу:

    program Perestanovki;
      type Pere=array [byte] of byte;
      var N,i,j:byte;
	  X:Pere;
	  Yes:boolean;
      procedure Next(var X:Pere;var Yes:boolean);
	var i:byte;
	procedure Swap(var a,b:byte);  {обмен переменных}
	  var c:byte;
	begin c:=a;a:=b;b:=c end;
      begin
	i:=N-1;
	{поиск i}
	while (i>0)and(X[i]>X[i+1]) do dec(i);
	if i>0 then
	  begin
	    j:=i+1;
	    {поиск j}
	    while (j<N)and(X[j+1]>X[i]) do inc(j);
	    Swap(X[i],X[j]);
	    for j:=i+1 to (N+i) div 2 do Swap(X[j],X[N-j+i+1]);
	    Yes:=true
	  end
	else Yes:=false
      end;
    begin
      write('N=');readln(N);
      for i:=1 to N do X[i]:=i;
      repeat
	for i:=1 to N do write(X[i]);writeln;
	Next(X,Yes)
      until not Yes
    end.

Решение через рекурисю.

Опишем рекурсивную процедуру Generate(k), предъявляющую все перестановки чисел 1,...,N, у которых фиксировано начало X[1],X[2],...,X[k]. После выхода из процедуры массив X будут иметь то же значение, что перед входом (это существенно!). Понятно, что при k=N мы снова имеем только тривиальное решение - саму перестановку. При k<N будем сводить задачу к k+1:

	  procedure Generate(k:byte);
	    var i,j:byte;
	    procedure Swap(var a,b:byte);
	      var c:byte;
	    begin c:=a;a:=b;b:=c end;
	  begin
	    if k=N then
	      begin for i:=1 to N do write(X[i]);writeln end
	    else
	      for j:=k+1 to N do
		begin
		  Swap(X[k+1],X[j]);
		  Generate(k+1);
		  Swap(X[k+1],X[j])
		end
	  end;

Основная программа:

	program PerestanovkiRecursion;
	  type Pere=array [byte] of byte;
	  var N,i,j:byte;
	      X:Pere;
	  procedure Generate(k:byte);
	      ...............
	begin
	  write('N=');readln(N);
	  for i:=1 to N do X[i]:=i;
	  Generate(0)
	end.

Чтобы до конца разобраться в этой непростой программе, советуем выполнить ее на бумаге при N=3. Обратите внимание, что порядок вывода перестановок не будет лексикографическим!

Вверх по странице, к оглавлению и навигации.