 |
 |
|
|
|
|
2.11. Двоичные деревья
Элементы двоичного дерева помимо информативной части имеют две ссылки √ на нижний левый и на нижний правый элементы. Принцип построения двоичного дерева заключается в том, что очередной элемент в зависимости от значения информативной части должен попасть в правое (если информационная часть включаемого элемента больше информационной части корня) или левое (в противном случае) поддерево. При этом в рамках выбранного поддерева определение местоположения нового элемента производится аналогично.
Рис. 9. Представление бинарного дерева в виде списковой структуры [3].
Данную структуру целесообразно описать следующим образом:
type
TypeOfElem= {};
Assoc= ^ElemOfTree;
ElemOfTree= record
Elem: TypeOfElem;
Left, Right: Pointer
end;
Рассмотрим основные операции, связанные с двоичными деревьями.
Поиск элемента в дереве
function FoundInTree( Elem: TypeOfElem; var Tree, Result: Pointer ): Boolean;
var
ServiceVar: Assoc;
b: Boolean;
begin
b:= False;
ServiceVar:= Tree;
if Tree <> nil then
repeat
if ServiceVar^.Elem= Elem then b:= True
else
if Elem < ServiceVar^.Elem then ServiceVar:= ServiceVar^.Left
else ServiceVar:= ServiceVar^.Right
until b or ( ServiceVar= nil );
FoundInTree:= b;
Result:= ServiceVar
end;
Включение элемента в дерево
Включение элемента в дерево реализуется путем во-первых, поиска вершины √ предка нового элемента, во-вторых, непосредственным включением элемента в дерево по найденной позиции. Опишем процедуру поиска предка для нового элемента.
function SearchNode( Elem: TypeOfElem; var Tree, Result: Assoc): Boolean;
var
ServiceVar1, ServiceVar2: Assoc;
b: Boolean;
begin
b:= False;
ServiceVar1:= Tree;
if Tree <> nil then
repeat
ServiceVar2:= ServiceVar1;
if ServiceVar1^.Elem= Elem then {элемент найден} b:= True
else begin
{запоминание обрабатываемой вершины}
ServiceVar2:= ServiceVar1;
if Elem < ServiceVar1^.Elem then ServiceVar1:=
ServiceVar1^.Left
else ServiceVar1:= ServiceVar1^.Right
end
until b or ( ServiceVar1= nil );
SearchNode:= b;
Result:= ServiceVar2
end;
Как видно из описания, эта функция подобна ранее рассмотренной функции поиска элемента дерева (FoundInTree), но в качестве побочного эффекта фиксируется ссылка на вершину, в которой был найден заданный элемент (в случае успешного поиска), или ссылка на вершину, после обработки которой поиск прекращен (в случае неуспешного поиска). Сама процедура включения элемента в дерево будет иметь следующее описание.
procedure IncludeInTree( Elem: TypeOfElem; var Tree: Assoc );
var
Result, Node: Assoc;
begin
if not SearchNode( Elem, Tree, Result ) then begin
{формирование новой вершины в дереве}
new( Node );
Node^.Elem:= Elem;
Node^.Left:= nil;
Node^.Right:= nil;
if Tree= nil then
{если дерево пусто, то созданный элемент сделать вершиной дерева}
Tree:= Node
else
{подсоединить новую вершину к дереву}
if Elem < Result^.Elem then Result^.Left:= Node
else Result^.Right:= Node
end
end;
Двоичное дерево можно рассматривать как рекурсивную структуру данных, состоящую из корневой записи, указывающей на левое и правое поддерево. Оба поддерева имеют такую же структуру: корень поддерева и правое и левое поддеревья. При этом, для представления дерева рекурсивной динамической структурой целесообразно модифицировать описание типа дерева, данное выше. А именно, удобнее изменить тип ссылок на левое и правое поддеревья с нетипизированного (Pointer) на типизированный:
type
TypeOfElem1= {};
Assoc1= ^ElemOfTree1;
ElemOfTree1= record
Elem: TypeOfElem1;
Left, Right: Assoc1
end;
Опишем процедуру вставки элемента рекурсивно.
procedure IncludeInTree2( NewElem: Assoc1; var SubTree: Assoc1 );
begin
if SubTree= nil then begin
SubTree:= NewElem;
NewElem^.Left:= nil;
NewElem^.Right:= nil;
end
else
if NewElem^.Elem < SubTree^.Elem then
IncludeInTree2( NewElem, SubTree^.Left )
else
IncludeInTree2( NewElem, SubTree^.Right )
end;
Удаление элемента дерева
Проблема реализации данной операции состоит в том, что в общем случае, в удаляемую вершину входит одна связь, а выходят две. Поэтому, необходимо найти подходящий элемент дерева, который можно было бы вставить на место удаляемого. Этот элемент является либо самым правым элементом левого поддерева (для достижения этого элемента необходимо перейти в следующую вершину по левой ветви, а затем, переходить в очередные вершины по правым ветвям до тех пор, пока очередная такая ссылка не будет равна nil), либо самый левый элемент правого поддерева (для достижения этого элемента необходимо перейти в следующую вершину по правой ветви, а затем, переходить в очередные вершины по левым ветвям до тех пор, пока очередная такая ссылка не будет равна nil). Процедура исключения элемента из двоичного дерева должна различать тои случая:
1. элемента с заданной информативной частью в дереве нет; 2. элемент с заданной информативной частью имеет не более одной ветви; 3. элемент с заданной информативной частью имеет две ветви.procedure DeleteElemOfTree( var Tree: Assoc1; Elem: TypeOfElem1 );
var
ServiceVar1: Assoc1;
procedure Del( var ServiceVar2: Assoc1 );
begin
if ServiceVar2^.Right= nil then begin
ServiceVar1^.Elem:= ServiceVar2^.Elem;
ServiceVar1:= ServiceVar2;
ServiceVar2:=ServiceVar2^.Left
end
else Del( ServiceVar2^.Right )
end;
begin
{удаление элемента с информативным полем равным Elem из дерева Tree}
if Tree= nil then
{первый случай процедуры удаления}
writeln( 'Элемент не найден' )
else
{поиск элемента с заданным ключом}
if Elem < Tree^.Elem then DeleteElemOfTree( Tree^.Left, Elem )
else
if Elem > Tree^.Elem then
DeleteElemOfTree( Tree^.Right, Elem )
else begin
{элемент найден, необходимо его удалить}
ServiceVar1:= Tree;
{второй случай процедуры удаления}
if ServiceVar1^.Right= nil then
Tree:= ServiceVar1^.Left
else
if ServiceVar1^.Left= nil then
Tree:= ServiceVar1^.Right
else
{третий случай процедуры удаления}
Del( ServiceVar1^.Left )
end
end;
Вспомогательная рекурсивная процедура Del вызывается лишь в третьем случае процедуры удаления. Она переходит к самому правому элементу левого поддерева удаляемого элемента, а затем заменяет информационное поле удаляемого на значение поля найденного элемента.
Вывод элементов дерева
Данная задача также может быть решена с помощью механизма рекурсии.
procedure PrintTree( Tree: Pointer);
var
ServiceVar: Assoc1;
begin
ServiceVar:= Tree;
writeln( ServiceVar^.Elem );
if ServiceVar^.Right <> nil then PrintTree(ServiceVar^.Right);
if ServiceVar^.Left <> nil then PrintTree(ServiceVar^.Left);
end;
Разберем решение типичной задачи, связанной с обработкой двоичных деревьев.
Текст задания
Описать процедуру copy( T, T1) которая строит T1 √ копию дерева T.
Решение
procedure CopyTree( T: Tree; var T1: Tree );
begin
if T= nil then T1:= nil
else
begin
new( T1 );
T1^.Elem:= T^.Elem;
CopyTree( T^.Left, T1^.Left );
CopyTree( T^.Right, T1^.Right )
end
end;
Варианты заданий
1. Во внешнем текстовом файле PROG записана (без ошибок) некоторая программа на языке Паскаль. Известно, что в этой программе каждый идентификатор (служебное слово или имя) содержит не более 9 латинских букв и/или цифр. Напечатать в алфавитном порядке все различные идентификаторы этой программы, указав для каждого из них число его вхождений в программу. (Учесть, что в идентификаторах одноименные прописные и строчные буквы отождествляются, что внутри литерных значений, строк-констант и комментариев последовательности из букв и цифр не являются идентификаторами и что в записи вещественных чисел может встретится бука Е или е.) Для хранения идентификаторов использовать дерево поиска, элементами которого являются пары √ идентификатор и число его вхождений в текст программы.
2. Решить задачу 1, но вместе с каждым идентификатором печатать в возрастающем порядке номера всех строк текста программы, в которых он встречается.
3. Решить задачу 1 при условии, что максимальная длина идентификаторов неизвестна.
4. Решить задачу 2 при условии, что максимальная длина идентификаторов заранее не известна.
5. Деревом поиска, или таблицей в виде дерева, называется двоичное дерево, в котором слева от любой вершины находятся вершины с элементами, меньшими элемента из этой вершины, а справа - с большими элементами (предполагается, что все элементы дерева попарно различны и что их тип (TypeOfElement) допускает применение операций сравнения ). Считая описанным тип дерево и тип файл: type file1= file of TypeOfElement; Определить функцию или процедуру, которая проверяет, входит ли элемент Е в дерево поиска Т.
6. Для дерева поиска и файла задачи 5 определить функцию или процедуру, которая записывает в файл f элементы дерева поиска Т в порядке их возрастания.
7. Для дерева поиска и файла задачи 5 определить функцию или процедуру, которая добавляет к дереву поиска Т новый элемент Е, если его не было в Т.
8. Для дерева поиска и файла задачи 5 определить функцию или процедуру, которая по файлу f, все элементы которого различны, строит соответствующее дерево поиска Т.
В последующих задачах используются двоичные деревья, описанные следующим образом: type TypeOfElement= ┘; {тип элементов дерева} Tree= ^Assoc; Assoc= record Elem: TypeOfElem; Left, Right: Tree end; При этом, параметры T, T1, T2 обозначают деревья, а параметры E- величину типа TypeOfElement.
9. Используя очередь или стек описать процедуру или функцию, которая присваивает параметру E элемент самого левого листа непустого дерева T (лист √ вершина, из которой не выходит не одной ветви).
10. Используя очередь или стек описать процедуру или функцию, которая определяет число вхождений элемента E в дерево T.
11. Используя очередь или стек описать процедуру или функцию, которая вычисляет среднее арифметическое всех элементов непустого дерева T (TypeOfElem= real).
12. Используя очередь или стек описать процедуру или функцию, которая заменяет все отрицательные элементы дерева T на их абсолютные величины (TypeOfElem= real).
13. Используя очередь или стек описать процедуру или функцию, которая меняет местами максимальный и минимальный элементы непустого дерева T, все элементы которого различны (TypeOfElem= real).
14. Используя очередь или стек описать процедуру или функцию, которая выводит элементы из всех листьев дерева T (TypeOfElem= char).
15. Используя очередь или стек описать процедуру или функцию, которая выводит все элементы дерева T по уровням: сначала √ из корня дерева, затем (слева направо) √ из вершин, дочерних по отношению к корню, затем (также слева направо) √ из вершин, дочерних по отношению к этим вершинам, и т.д. (TypeOfElem= integer).
16. Используя очередь или стек описать процедуру или функцию, которая находит в непустом дереве T длину (число ветвей) пути от корня до ближайшей вершины с элементом E; если E не входит в T, за ответ принять √1.
17. Используя очередь или стек описать процедуру или функцию, которая подсчитывает число вершин на n- ом уровне непустого дерева T (корень считать вершиной 0-го уровня).
18. Описать рекурсивную процедуру или функцию, которая определяет, входит ли элемент E в дерево T.
19. Описать рекурсивную процедуру или функцию, которая определяет число вхождений элемента E в дерево T.
20. Описать рекурсивную процедуру или функцию, которая вычисляет сумму элементов непустого дерева T (TypeOfElem= real).
21. Описать рекурсивную процедуру или функцию, которая находит величину наибольшего элемента непустого дерева T (TypeOfElem= real).
22. Описать рекурсивную процедуру или функцию, которая печатает элементы из всех листьев дерева T (TypeOfElem= char).
23. Описать рекурсивную процедуру или функцию, которая определяет максимальную глубину непустого дерева T, т.е. число ветвей в самом длинном из путей от корня до листьев.
24. Описать рекурсивную процедуру или функцию, которая подсчитывает число вершин на n-ом уровне непустого дерева T (корень считать вершиной 0-го уровня).
25. Рекурсивно и не рекурсивно описать функцию equal(T1, T2), проверяющую на равенство деревья T1 и T2.
26. Описать логическую функцию same( T ), определяющую, есть ли в дереве T хотя бы два одинаковых элемента.
27. Формулу вида
<формула>::= <терминал> | (<формула> <знак> <формула>)
<знак>::= + | - | *
<терминал>::= 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
можно представить в виде двоичного дерева (⌠дерева-формулы) с (TypeOfElem= char) согласно следующим правилам: формула из одного терминала (цифры) представляется деревом из одной вершины с этим терминалом, а формула вида (f1 s f2) √ деревом, в котором корень √ это знак s, а левое и правое поддеревья √ это соответствующие представления формул f1 b f2. Описать рекурсивную процедуру или функцию, которая вычисляет как целое число значение дерева-формулы T.
28. Описать рекурсивную процедуру или функцию, которая по формуле из текстового файла f строит соответствующее дерево-формулу (см. задачу 27) T.
29. Описать рекурсивную процедуру или функцию, которая выводит дерево-формулу (см. задачу 27) T в виде соответствующей формулы.
30. Описать рекурсивную процедуру или функцию, которая проверяет, является ли двоичное дерево T деревом-формулой (см. задачу 27).
|
|
|
