Алгоритм Рабина

        Этот алгоритм основан на простой идее. Представим себе, что в слове длины m мы ищем образец длины n . Вырежем окошечко размера n и будем двигать его по входному слову. Нас интересует, не совпадает ли слово в окошечке с заданным образцом. Сравнивать по буквам долго. Вместо этого фиксируем некоторую функцию, определенную на словах длины n . Если значения этой функции на слове в окошечке и на образце различны, то совпадения нет. Только если значения одинаковы, нужно проверять совпадение по буквам.

Что мы выигрываем при таком подходе? Казалось бы, ничего -- ведь чтобы вычислить значение функции на слове в окошечке, все равно нужно прочесть все буквы этого слова. Так уж лучше их сразу сравнить с образцом. Тем не менее выигрыш возможен, и вот за счет чего. При сдвиге окошечка слово не меняется полностью, а лишь добавляется буква в конце и убирается в начале. Хорошо бы, чтобы по этим данным можно было рассчитать, как меняется функция.


$\scriptstyle{\blacktriangleright}$ 10.6.1. Привести пример удобной для вычисления функции.

Решение. Заменим все буквы в слове и образце их номерами, представляющими собой целые числа. Тогда удобной функцией является сумма цифр. (При сдвиге окошечка нужно добавить новое число и вычесть пропавшее.)$\scriptstyle\blacktriangleleft$

Для каждой функции существуют слова, к которым она применима плохо. Зато другая функция в этом случае может работать хорошо. Возникает идея: надо запасти много функций и в начале работы алгоритма выбирать из них случайную. (Тогда враг, желающий подгадить нашему алгоритму, не будет знать, с какой именно функцией ему бороться.)


$\scriptstyle{\blacktriangleright}$ 10.6.2. Привести пример семейства удобных функций.

Решение. Выберем некоторое число p (желательно простое, смотри далее) и некоторый вычет x по модулю p . Каждое слово длины n будем рассматривать как последовательность целых чисел (заменив буквы кодами). Эти числа будем рассматривать как коэффициенты многочлена степени n-1 и вычислим значение этого многочлена по модулю p в точке x . Это и будет одна из функций семейства (для каждой пары p и x получается, таким образом, своя функция). Сдвиг окошка на 1 соответствует вычитанию старшего члена (xn-1 следует вычислить заранее), умножению на x и добавлению свободного члена.$\scriptstyle\blacktriangleleft$

Следующее соображение говорит в пользу того, что совпадения не слишком вероятны. Пусть число p фиксировано и к тому же простое, а X и Y -- два различных слова длины n . Тогда им соответствуют различные многочлены (мы предполагаем, что коды всех букв различны -- это возможно, если p больше числа букв алфавита). Совпадение значений функции означает, что в точке x эти два различных многочлена совпадают, то есть их разность обращается в . Разность есть многочлен степени n-1 и имеет не более n-1 корней. Таким образом, если n много меньше p , то случайному x мало шансов попасть в неудачную точку.


pvv
1/8/1999