% ---------------------------- �������� 96 ----------------------------------
\section{��������}\index{��������}
        \label{ordinals}

��� �� ��� ��������, \emph{���������} ���������� ���������� ���
������ �������������� ���������, �� ���� ����� ���� ����������
��� ������������� �������� (�����������, ��� ����� ������
��������������).

�� ��������� ����������� ������������ ��������
�������\index{��������!���������}.
����� �������� ��� ��������~$\alpha$ �~$\beta$, ����ͣ� ��
�������������~$A$ �~$B$.
�������� �������~\ref{ordinals-trichotomy} � ���������, ����� ��
�ң� ������� ($A$~��������� ����������
�������~$B$, ��������� �� �����~$B$; ���������~$A$ �~$B$
���������; $B$~��������� ���������� �������~$A$, ��������� ��
�����~$A$) ����� �����. � ������ ������ $\alpha\hm<\beta$,
�� ������ $\alpha\hm=\beta$, �
�������~$\alpha\hm>\beta$.

�� ����������� �� ����������, ��������� � ����������� ������
�������� (��.~������~\ref{cantor}); ��� ��������� �����
��������� ���� �����������, �� �ݣ �������. ���� ��� �������
��������� �������� ���������.

\begin{itemize}
        %
\item
�� ���������� �� ��������� �������� �������. ���� ������� �����
������: ����� �������� ��������� ��������� ����� ����������
������� (�������~\ref{complete-order-on-ordinals}; ������� ����
� ���, ��� �� �� ����������� ��� ����� \�� �������\��, �
�������� � ��������������).
        %
\item
����� $\alpha$\� ��������� �������. ���������� ��������� �������~$[0,\alpha)$
� ������ ��������� (������������ ����� ����������,
��������~$\alpha$ � ������
% ---------------------------- �������� 97 ----------------------------------
���������� �������). ���� �������
���������� �� ����~$\alpha$ (�� ���� ��������� ��������������
��������~$\alpha$). � ����� ����, ����� $A$\� ���� ��
�������������� ��������~$\alpha$. ��������, �������~$\alpha$,
������������� ����������� (�� ����������� �~$A$) ���������
�������� ���������~$A$. ����� ������� ����� ���~$[0,a)$ � ���
����� ��������� �� ������� ����������� ������������ �
���������� ���������~$A$. (����� ���������, ��� ��� ������������
��������� �������.)

��������� ����� ����������������� ���: ������ ������� ����������
��� ��������� ������� ���������. (� ����� �� ����������
���������� ������ ��������� ������ ������� \textsl{�����}
��������� ���� ������� ���������.)
        %
\item
������� ���������� \emph{������������}\index{��������!������������},
���� ����������
��������������� �������������� ��� (� ������ ���������� �������)
�������. ���� ������ ���, ������� �������� \emph{����������}%
\index{��������!����������}.
        %
\item
����� ������������ ��������� ��������� ����� ������ �������
����� (���������� �������, ������� ��� ������ ���� ���������
���������). � ����� ����, ����ͣ� �����\� �� �������~$\beta$,
���������� ������� ��������. ����� ��� �������� ���������
��������� ��������� �������� ���������~$B$, ���������������
�������~$\beta$. ���� ����� ���� �������� ���� ����~$B$, ��
$\beta$~����� ������ ������� ������ (� ���������� ���������
���������). ���� ���, �� ��� ������� ����� ���~$[0,b)$ ���
��������� ���������~$b\hm\in B$. ���������� ���������~$S$ ����
����� ���������~$b$. ���� $S$~�� ���������� �~$B$, �� $\beta$~�����
������ ������� ������. ���� $S$~����������, �� ��� �����
������ ������� �����~$s$, � $[0,s)$~����� ������ ������� ������
���������.
        %
\end{itemize}

����� �������, ��� ��������� ���������\� ��� ��� ��
������������� ������ ������������� ���������; �����
% ---------------------------- �������� 98 ----------------------------------
������ ������������� ��������� ��������� ����������
���������� ������� ����� ���������. �������
�� ���������� ���ģ� � ������������, ���� ������� �����������
��������� ���� ��������� (���� ��� ������� ������ ��������������
��������� ���� �ݣ �������\� ������� � ���� ����� �������,
������� ���� ����������). ���� �������� ����������
\emph{����������~������\� �����}\index{��������!������\� �����}%
\glossary{������-�����@\�����������}.

\begin{problem}
        %
��������, ��� ������ ������� ����� �ޣ����� ����� �ޣ����
��������� �ޣ���.
        %
\end{problem}

��� �� ���������� �� ���������, �� ������ � ������������? �
�������� ����� �������� ����������� �� ��������� ������������� �
�� �������������� � ������������ ���������� ��������� ��� \��
��������� ����\��.
������ ������ (������������ ��� ��������)\glossary{������@\���������}
����������� ��� ���������������
���������� ������ ��������, � ������� �� �������� � ���������:
�� ��������� ������ ������� ������ ��������� ���� �������
���������. ����� ����������� �������~$0$ (���������� ��� �������
���������) ����� ������ ����������~$\varnothing$, ��������� ��
��� �������~$1$ (���������� ��� ��������������� ���������) �����
$\{0\}\hm=\{\varnothing\}$, �����
$2\hm=\{0,1\}\hm=\{\varnothing, \{\varnothing\}\}$,
$3\hm=\{0,1,2\}\hm=\{\varnothing, \{\varnothing\},
\{\varnothing, \{\varnothing\}\}\}$,
$4\hm=\{0,1,2,3\}$~\���
�� ���� ������� �������~$\omega$ (���������� ��� ���������
����������� �����), ������ $\{0,1,2,3,\dots\}$, �����
$\omega\hm+1\hm= \{0,1,2,3,\dots,\omega\}$, ����� $\omega\hm+2\hm=
\{0,1,2,3,\dots,\omega,\omega+1\}$~\���

�� �� ����� �������� �������� �� ��������������� ������ ��������%
\index{��������������� ������ ��������}
�������\� ��������\glossary{�������@\�������}\glossary{��������@\��������},
�� ��� ��������������
������� ����� � ����.
��\� ������, � ��� ��� ������� ��������, ����� ��������, � ����
\emph{������� ������������������}\index{�������!������������������
(��ߣ������)} (��� \emph{��ߣ������}),
������� �������, ��� ��� �������, ���������� ���� � �� ��
��������, �����. ������� ���������� ���� ���� ������, ��
���������� ��������� (������ ���������). ��\� ������, � ��� ����
\emph{������� ������������}\index{�������!������������}, ������� �������, ���
���������~$\in$ �����������: �� ������ ���������~$X$ ����
�������, ���������� $\in$\� �����������, �� ����
�������~$x\hm\in X$, ��� �������� $X\hm\cap x\hm=\varnothing$.
������ �������, ���
% ---------------------------- �������� 99 ----------------------------------
������� ��������� $x$ �� ����� ���� �����
��������� (����� ��� ���������~$\{x\}$ ���������� �� ������� ������������).

\begin{problem}
        %
�������� �� ������� ������������, ��� �� ���������� ��������
$x$, $y$, $z$, ��� ������� $x\in y \in z \in x$.
        %
\end{problem}

\problskip
���������� ����������� ��������� �������� �� ����� �������
������������ ���: ��������� �������� �� ����� �����������
��������, ������� � �������, � ������� �������� �������� ��
���������� (��������� �����\� ���� �������� ��������, �����
���������� ���������� � ������������, ��� ��� ����� ��� ���� ���
���������).

������ ����� ���������� �������� ���. ����� ��������, ���
���������~$x$ \emph{�����������}\index{������������ ���������}%
\index{���������!������������}, ���� ������ �������
���������~$x$ �������� ������������� ���������~$x$, �� ���� ����
�� $z\hm\in y\hm\in x$ �������~$z\hm\in x$. ����ף�
\emph{���������}\index{��������} ������������ ���������, ������ ������� ��������
�����������. ��� ���������� �����������, ��� �� ��������� ������
�������� ���������~$\in$ �������� (�������)
��������� ��������.

������� ������������ �����������, ��� ��������� �������~$\in$ ��
����� �������� �������� �������������. ����� �����
�� �������� ����� ��������, ��� �� �������� �������� (�,
�������������, ������).

\problskip
\begin{problem}
        %
(\textbf{�})~%
��������� ����������� ��������
��� ������������� ��������� � ������������� ����������,
��������, ��� ������� �������� ���� �������.
        %
(\textbf{�})~%
����� $\alpha$\� ������� (� ������ ������� ���� �����������).
��������, ��� ��������� $\in$ �� Σ� �������� ��������� ��������.
        %
(\textbf{�})~%
��������, ��� ��� ����� ��������� $a,b\hm\in\alpha$ ����� �����
���� �� �ң� �����������: ���� $a\hm\in b$, ���� $a\hm=b$, ���� $b\hm\in
a$. (��������: ����������� �������
�������� �� �������������� ���������~$\in$
��~$\alpha$, � ����� ������� ������������������.)
        %
(\textbf{�})~%
��������, ��� ���� ������� ��������� ������������ ����������
������� ������� ����� � ������ �����, ����� �������� ��� ���������.
(����� �������, ���������~$<$ �� ��������� ��� �������������
���������� ��������� � ���������� ��������������.) ��������, ���
������ ������� �������� ���������� ���� ������� ��� ���������.
        %
\end{problem}

\problskip
������� �ݣ, ��� ���� ������ ������� ���� ���������
% ---------------------------- �������� 100 ----------------------------------
���� ������� ��� ���������, �� ������ ������� ����� ���������
��������� ���� �� �����������.

�� �� ����� �������� ��������� ���� ������ � ��\�
�������� ����� ������ ������������ ���� �������� ��� ����������
���� ������ ������������� ��������.

������ ��� ������� � �������� � ��������� ���������,
������� ����� ��������:

\begin{theorem}
        \label{subset-less-or-equal}
����� $A$\� ������������ ������ �������������� ���������~$B$.
����� ����������\index{���������� ���} ��� ���������~$A$ �� �����������
�����������
���� ���������~$B$.
        %
\end{theorem}

\begin{proof}
        %
������� ����� ��, ��� ��������� ��������, ���� ���� $A$~��������
����������� �������������~$B$. ��������, ޣ���� �����������
����� ����� ��� �� ���������� ���~$\omega$, ��� � ���
����������� �����.

��������� �� ����������, �����������, ��� ���������� ���
���������~$A$ ������. ����� $B$~��������� ���������� ����������
������� ���������~$A$, �� ������������ �� ����~$A$. ����� $a_0$\�
������� ������� (�~$A$) ����� �������, � $f\colon B \hm\to A$\�
��������������� ����������. ����� $f$~������ ���������� �
������ $f(b)\hm\ge b$ ��� ����~$b\hm\in B$
(�������~\ref{monotone-mappings-wosets}). � ���������, $f(a_0)\hm\ge a_0$,
�� �� ������������� ����� ��������~$f(b)$ ������~$a_0$\�
������������.
        %
\end{proof}

\section{���������� ���������}
        \label{ordinal-arithmetics}

�� ���������� �����\index{����� ��������}\index{���������!�����}
� ������������\index{���������!������������}\index{������������ ��������}
������� �������������
�������� � �������~\ref{equivalence-order}. (��������, ���
�~$A\hm+B$ ��������~$A$ ������������ ���������~$B$, � � $A\hm\times B$
�� ������� ���������� $B$\� ���������� ���, � � ������ �� ���������\�
$A$\�
����������.)

����� ��������� ��������� �������� ��������\index{�������� ���������}:
        %
\begin{itemize}
        %
\item �������� ������������\index{���������������}:
$\alpha\hm+(\beta\hm+\gamma)\hm=(\alpha\hm+\beta)\hm+\gamma$.
        %
\item �������� �� ������������\index{���������������}: ��������,
$1\hm+\omega\hm=\omega$, ��
$\omega\hm+1\hm\ne\omega$.
        %
\item ��������, $\alpha\hm+0\hm=0\hm+\alpha\hm=\alpha$.
        %
% ---------------------------- �������� 101 ----------------------------------
\item ����� ���������� ��� �����
������� ���������: ����
$\beta_1\hm<\beta_2$, �� $\alpha\hm+\beta_1\hm<\alpha\hm+\beta_2$.
(� ����� ����, ����� $\beta_1$~��������� ���������� ������� �~$\beta_2$,
��������� �� �����~$\beta_2$.  ������� � ����� �����������
������������� ����������� ��~$\alpha$ � ������� ����������
�����~$\alpha\hm+\beta_1$ � ��������� �������� �~$\alpha\hm+\beta_2$, ��������
��~$\alpha\hm+\beta_2$.)
        %
\item ����� ��������� ��� ����� ������� ���������: ����
$\alpha_1\hm<\alpha_2$, �� $\alpha_1\hm+\beta \hm\le
\alpha_2\hm+\beta$. (� ����� ����, $\alpha_1\hm+\beta$~���������
������������ �~$\alpha_2\hm+\beta$. ��� ������������ �� ��������
��������� ��������, �� �� ����� ���������������
��������~\ref{subset-less-or-equal}.)
        %
\item
����������� ����� ����������� � ������������~$\alpha\hm+1$ ��� ����������
��~$\alpha$ ��������. (�����~$1$\� ���������� ��� ���������������
���������.) ��������� ��~$\alpha\hm+1$ ��������� ����� �������
$(\alpha\hm+1)\hm+1\hm=\alpha\hm+(1\hm+1)\hm=\alpha\hm+2$~\���
        %
\item ���� $\alpha\hm\ge\beta$, �� ���������� ������������
�������\index{��������}~$\gamma$,
��� �������� $\beta\hm+\gamma\hm=\alpha$. (� ����� ����, $\beta$~���������
���������� ������� �~$\alpha$; ���������� �����~$\alpha$ � �����
������� ���������~$\gamma$. �������������� ������� �� ������������
�������� �� ������� ���������.) �������, ��� ��� �������� ����� ��������
\�� ����������\index{��������� ���������} �����\��.
        %
\item
\�� ��������� ������\��, ��������, �������� �� ������. �����~$\alpha$\�
��������� �������. ����� ��������� $\beta\hm+1\hm=\alpha$ (������������~$\beta$)
����� ������� ����� � ������ �����, ����� $\alpha$\� ������������ �������,
(\��~����� $\alpha$~����� ���������� �������).
        %
\end{itemize}

����������� ����� ���� ��������� � ���� ��������������� �����
�������������� �� ����� �������� ����� ���������. �����
���������� � ����� $\alpha_1\hm+\alpha_2\hm+\ldots$ �ޣ����
������������������ ��������� (��������~$\alpha_i$ ������������
���������~$\alpha_j$ ���~$i\hm<j$; ������ �������~$\alpha_i$
������� �������). ��� ����� ���������, ���
% ---------------------------- �������� 102 ----------------------------------
��������� �������������
����� ������ �������������: ����� ����� ����������� ������� � ���
������������, ���������� ����������, ������� ��� ������������
��������, ������� �� ��� ���������� � ���������� ������� �
������������� ţ ������ ����������������.

� ���� ���������� ����� �������� ����������� ����� �� ��������
������������� ������ �������������� ���������~$I$ � ����������
����� $\sum A_i$ ��������� ������ �������������
��������~$A_i$, ���������������� ����������~$I$, ��� ����������
��� ��������� ���� ��� ���� $\langle a,i\rangle$, ��� �������~$a\in A_i$.
��� ��������� ��� ������������ ������ ����������, � � ������
��������� � ������ (� ���������������~$A_i$). ���� ���~$A_i$
��������� ������ � ���� �� ���������~$A$, �������� ��� ���������
��� ����������� ������������~$A\hm\times I$.

\medskip
������ �����ģ� � ��������� ���������\index{��������� ���������}.
        %
\begin{itemize}
        %
\item ��������� ������������\index{���������������}: $(\alpha\beta)\gamma\hm=
\alpha(\beta\gamma)$. (� ����� ����, � ����� �������
�� �������� ���������� ��������� �����; ������ ������������
������ ������, ���� �� ����������� ��������.)
        %
\item ��������� �� ������������\index{���������������}: ��������, $2\hm\cdot\omega\hm=\omega$,
� �� ����� ��� $\omega\hm\cdot 2\hm\ne\omega$.
        %
\item ��������, $\alpha\hm\cdot0\hm=0\hm\cdot\alpha=0$ �
$\alpha\cdot1\hm=1\cdot\alpha\hm=\alpha$.
        %
\item ����������� ���� �� ������� ����������������\index{����������������}:
$\alpha(\beta\hm+\gamma)\hm=\alpha\beta\hm+\alpha\gamma$
(��������������� ������� �� �����������). ������������ ��������
��������� �� ������: $(1\hm+1)\hm\cdot\omega\hm=\omega\hm\ne\omega+\omega$.
        %
\item ������������ ������ ���������� ��� ���������� �������
���������, ���� ������ �� �����~$0$. (��� ������������ �������
��� �� ����� ���������� �������: ���� $\beta_2\hm>\beta_1$, ��
$\beta_2\hm=\beta_1\hm+\delta$, ��� ���
$\alpha\beta_2\hm=\alpha(\beta_1\hm+\delta)
\hm=\alpha\beta_1 \hm+\alpha\delta
\hm>\alpha\beta_1$.)
        %
\item ������������ �� ������� ��� ����������� ������� ���������.
(� ����� ����, ���� $\alpha_1\hm<\alpha_2$, ��
$\alpha_1\beta$ ���������
% ---------------------------- �������� 103 ----------------------------------
������������~$\alpha_2\beta$. ��� ������������ �� ��������
��������� ��������, �� ����� ��������� ��
�������~\ref{subset-less-or-equal}.)
        %
\label{ordinal-product-structure}%
\item ����� �������, ������� $\alpha\beta$, ����������
���������� � ���� $\alpha\beta'\hm+\alpha'$, ��� $\beta'\hm<\beta$
�~$\alpha'\hm<\alpha$.

(� ����� ����, ����� ��������� $A$
�~$B$ ����������� �� ����� $\alpha$ �~$\beta$. ����� $A\hm\times B$
����������� �� ���� $\alpha\beta$. ������ �������, �������
$\alpha\beta$, ���� ��������� ������� � $A\hm\times B$,
������������ ��������� ���������~$\langle a,b\rangle$.
��������� �������~$[0,\langle a,b\rangle)$ ������� �� ���, �
������� ������ ���� ������~$b$, � ����� �� ���, � ������� ������
���� �����~$b$, � ������ ������~$a$. ������ �������, ��� ����
��������� ������� ��������� $A\hm\times[0,b)\hm+[0,a)$, ��� ���
�������� �������� $\beta'\hm=[0,b)$ � $\alpha'\hm=[0,a)$. ������
�������� �������������. �����
$\alpha\beta'\hm+\alpha'\hm=\alpha\beta''\hm+\alpha''$. ����
$\beta'=\beta''$, �� ����� ��������������� �������������� ������
��������� � ��������, ��� $\alpha'=\alpha''$. ��������
���������, ��� $\beta'$ �� ����� ����, ������, ������ $\beta''$.
� ���� ������ $\beta''\hm=\beta'+\delta$, � �������� $\alpha\beta'$
�����, �������, ��� $\alpha'\hm=\alpha\delta+\alpha''$, ���
����������, ��� ��� ����� ����� ������~$\alpha$, � ������ �����
������ ��� �����~$\alpha$.)
        %
\item ����������� \�� ������� � ��������\index{������� ���������
� ��������}\��\ �������� � ���
����� ���������. �����~$\alpha\hm>0$. ����� ����� �������~$\gamma$
����� ��������� � �������� ��~$\alpha$, �� ���� ����������� �
���� $\alpha\tau\hm+\rho$, ���~$\rho\hm<\alpha$, � ������
������������ �������.

(� ����� ����, ������������� ������� �� ����������� �����������,
���� ������ ����� ���������� �������~$\beta$, ����� $\alpha\beta$
���� ������~$\gamma$, ������, $\beta\hm=\gamma\hm+1$. ��������������
������������ ��� ��, ��� � � ���������� ������.)
        %
\item
\label{position-ordinal-system}%
�������� ������� � �������� �� $\alpha>0$, ����� ���������
����������� ������� ���������\index{����������� ������� ���������} ���
���������: ������ �������,
������� $\alpha^{k+1}$ (�����~$k$\� ����������� �����),
���������� ��������\'�� � ����
% ---------------------------- �������� 104 ----------------------------------
$\alpha^k\beta_k\hm+\alpha^{k-1}\beta_{k-1}\hm+
\ldots\hm+\alpha\beta_1\hm+\beta_0$, ���
$\beta_k$, $\dots$, $\beta_1$, $\beta_0$\� ��������, �������~$\alpha$.

\end{itemize}

\begin{problem}
        %
��� ����� ���������~$1\hm+\alpha\hm=\alpha$?
        %
\end{problem}

\begin{problem}
        %
��� ����� ���������~$2\hm\cdot\alpha\hm=\alpha$?
        %
\end{problem}

\begin{problem}
        %
����� �������� ����������� � ����~$\omega\hm\cdot\alpha$?
        %
\end{problem}

\begin{problem}
        %
��������, ��� ${\alpha+\beta}\hm=\beta$ ����� � ������ �����,
����� ${\alpha\omega}\hm\le\beta$ (�����~$\alpha$ �~$\beta$\�
��������).
        %
\end{problem}

\begin{problem}
        %
��������, ��� ���� ${\alpha+\beta}\hm={\beta+\alpha}$ ��� ���������
���������~$\alpha$ �~$\beta$, �� ���ģ��� ����� �������~$\gamma$ �
����� ����������� �����~$m$ �~$n$, ��� $\alpha\hm={\gamma m}$ �
$\beta\hm={\gamma n}$.
        %
\end{problem}

\begin{problem}
        %
��������� �������� \�� ������ ���������\��\ �~$k\hm>1$ ��~$l\hm>k$.
����� ��������� ��� �������� � ������������ �����~$n$, ����
��������~$n$ � $k$\� ����� ������� ���������, � �����
�������� ��� ������ � $l$\� ����� �������. (��������, ����� ��� ����
������ԣ�, ���� ��� ���� ������ ��� �����~$k$.)
����ͣ� ������������ �����~$n$ � ����� ��������� ��� ���
����� ��������: ������ ��������� �~$2$ ��~$3$~-- ��������� �������~--
������ ��������� �~$3$ ��~$4$~-- ��������� �������~--
������ ��������� �~$4$ ��~$5$~-- ��������� �������~-- \dots
��������, ��� ���� ��� ������ �� ������� ���� � ������� �������
�� �������. (��������: �������� ��� ��������� �� �������~$\omega$;
��������� ��������� ������������������ ���������.)
        %
\end{problem}

\section{����������� ����������� � �������}

�� ���������� �������� � ��������� ��������� � �������
����� ����������� ������� �� ��������������� ����������.
������ ����� ����� ���� �� �� ���������� ����������.

\begin{theorem}
        \label{inductive-definition-sum}
�������� ���������\index{�������� ���������!����������� �����������}
�������� ���������� ����������:
        \begin{align*}
\alpha+ 0 &= \alpha;\\
\alpha+(\beta+1) &= (\alpha+\beta)+1;\\
\alpha+\gamma&= \sup\{\alpha+\beta\mid \beta<\gamma\}
    \text{ ��� ����������� $\gamma\hm\ne0$}.
        \end{align*}
��� �������� ���������� ���������� �������� ��������.
        %
\end{theorem}

\begin{proof}
        %
��� ������ �������� ��������; �������� ������. ����~$\beta\hm<\gamma$,
�� $\alpha\hm+\beta\hm<\alpha\hm+\gamma$, ��� ��� $\alpha\hm+\gamma$~�����
�������
% ---------------------------- �������� 105 ----------------------------------
�������� ���� ���� ����~$\alpha\hm+\beta$ ��� $\beta\hm<\gamma$.
���� ���������, ��� ��� ������� ������. ����� ��������� �������~$\tau$
������ $\alpha\hm+\gamma$. ��������, ��� �� ������~$\alpha\hm+\beta$
��� ����������~$\beta\hm<\gamma$. ����~$\tau\hm<\alpha$, �ӣ ��������.
����~$\tau\hm\ge\alpha$, ���������� ��� � ���� $\tau\hm=\alpha\hm+\sigma$.
����� $\alpha\hm+\sigma \hm< \alpha\hm+\gamma$ � ������~$\sigma\hm<\gamma$.
��������� �������~$\gamma$ ����������, $\sigma\hm+1$~����� ������~$\gamma$
� �������� ��������~$\beta\hm=\sigma\hm+1$.

��������� �������� ���������� ���������� �������� ��������, ���
��� ������������ ����� ����������� ����������� ��~$\beta$ (����
���� ��� �������� ��������, ���������� ����� ����������, ����ͣ�
�����������~$\beta$, ��� �������� ��� �����������~\���).
        %
\end{proof}

���������� ����� ���������� � ���������:

\begin{theorem}
        \label{inductive-definition-product}
��������� ���������\index{��������� ���������!����������� �����������} ��������
���������� ����������:
        \begin{align*}
\alpha 0 &= 0;\\
\alpha(\beta+1) &= \alpha\beta+\alpha;\\
\alpha\gamma&= \sup\{\alpha\beta\mid \beta<\gamma\}
    \text{ ��� ����������� $\gamma\hm\ne0$}.
        \end{align*}
��� �������� ���������� ���������� �������� ���������.
        %
\end{theorem}

\begin{proof}
        %
�������������� ����������, ����� ������ ���������, ���
���� $\tau\hm<\alpha\gamma$ ��� �����������~$\gamma$, ��
$\tau\hm<\alpha\beta$ ��� ����������~$\beta\hm<\gamma$.
��� �� ������ �� �.~\pageref{ordinal-product-structure},
�������~$\tau$ ����� ��� $\tau\hm=\alpha\gamma'\hm+\alpha'$
���~$\gamma'\hm<\gamma$; ���������� ��������~$\beta\hm=\gamma'\hm+1$.
        %
\end{proof}

��������� ������������ ������� ���������� ��������
���������� � �������\index{���������� ��������� � �������}. �� ��� ��
�������� ����������
���������� � ����� ������������� ������� ($\alpha^n$~����
������������ $n$~������������, ������~$\alpha$).
������� �������, ���� $A$~����������� ��
����~$\alpha$, �� ���������~$A^n$ ������������������� �����~$n$
� ���������� ��~$A$ � �������� ������������������ ��������
(��������� ������ ������) ����������� �� ����~$\alpha^n$.

��������� ���\� ����������~$\alpha^\omega$. ������ ����,
���������� � ������\� ����� ��������� $A^{\bbN}$ �����������
������������������� � ���������� �� Σ� ������ �������. ��
% ---------------------------- �������� 106 ----------------------------------
��� ��� ������\� ������. ������� ����� �����������
���������� \emph{���������� � �������}%
\index{���������� ��������� � �������!����������� �����������} ����������
� �������
��������� �����������:
        \begin{align*}
\alpha^0 &= 1;\\
\alpha^{\beta+1} &= \alpha^\beta\cdot\alpha;\\
\alpha^\gamma&= \sup\{\alpha^\beta\mid \beta<\gamma\}
    \text{ ��� ����������� $\gamma\hm\ne0$}.
        \end{align*}
�������~\ref{transfinite-recursion-theorem} (� �������������
��������) �����������, ��� ��� ����������� ���������� ����������
��������� �������� ��� ����������, ������� � ����������
����������� � �������.

\textsf{���������.} ��� ����� �� �������� � ������� �������
���������� � ��������� ���������� ���������. �� ����� ����
������� � ������������� �������� �������� �� ����������� �������
�� ������ ������������� ���������, � �������� �� ��������
���������\� �� ������� �����. ����� ����, � ��� ��� ���� �
�������� �� ���������� � ��������� �������� ���������, ��������
����� ���� ���. �������� ����������� ����������� ����� ���������
���������� � ������ �������� � �������������� ��� ����������
\emph{������� �����������}\index{�������!�����������}, �� �� �� ����
�������� �� �����. ������
����� �� ����� ����� �������� ���������� � �������, ��������� ��
���� �������.

����� ������ ����� ���������� � �������, ���������, ��� ��������
�������~$\alpha^\omega$ (��� ����������~$\alpha$). ����� $A$\�
���������, ������������� �� ����~$\alpha$. �������~$\alpha^\omega$
�� ����������� ���� ������ ������� �����~$\alpha^n$ ���
�����������~$n$. �������~$\alpha^n$ ����
���������� ��� ���������~$A^n$, �������������� � ��������
������������������ �������. ����� ����� ������ ������� �����,
���������� ���������~$A^n$ ��� ��������� ������� ���� �����.
��������, $A^2$~������� �� ���~$\langle a_1,a_2\rangle$ �
��������������� � ��������� �������� �~$A^3$, ��������� ��
�����~$\langle a_1,a_2,0\rangle$. (����� $0$\� ���������� �������
�~$A$.) ������ �����, ��� ��� ���������~$A^n$ ����� ������������� ���
��������� ������� ���������~$A^\infty$, ���������� �� �����������
% ---------------------------- �������� 107 ----------------------------------
������������������� $a_0, a_1, \dots$, �������� �������
�����������~$A$ � � ������� ���� �������� ����� ������ �������
�� ����. (��������� ���������� ������ ���������� �����������
��������� ������������������� �������\� �� ������� ����� ������
�������, � ������� ������������������ �����������, � ����������
�� �������� � ���� �������.) � ����������� ��� ��������� �������
���� �ӣ~$A^\infty$, ��� ��� ��� ��������� � ��������� ��������
����� ���~$\alpha^\omega$.

����������� ����������� ����� � ��� ������ ���������� �������.

����� $A$ � $B$\� ������ ������������� ���������,  ������� ����������
����~$\alpha$ �~$\beta$. ���������� ���������~$[B\to A]$\index{$[B\to A]$}
��������� �� �����������~$B$ �~$A$, ������� \�� ��������
��������\index{�������� �����������}\��\ (������ ������������ ��������~$A$ �����, ��
����������� ��������� ���������). ���ģ� ��~$[B\nolinebreak\to A]$
�������: ����~$f_1\hm\ne f_2$, ������� ���������� �������~$b\hm\in B$,
��� �������� $f_1(b)\hm\ne f_2(b)$ � ������� $f_1(b)$ �~$f_2(b)$.

\begin{theorem}
        \label{ordinal-power-structure}
        %
��������� ������� ������ ������ ������� �� ���������~$[B\to A]$
� ���������� ��� ����� ��������� ����~$\alpha^\beta$.
        %
\end{theorem}

\begin{proof}
        %
��� ���� ���������, ��� ��������� ������� ��������
������ � ��� ��������� ���������� ������������ �����������
�������.

����ף� \emph{���������}\index{�������� �����������}
��������~$f\hm\in[B\to A]$ ���������
���~$b\hm\in B$, ��� �������~$f(b)\hm>0$ (����� $0$~����������
���������� ������� ���������~$A$). ����ף� \emph{������}
�������~$f$ ���������� ������� �������� (�� ����������� ��������
�������, ��� ��� ���������� ������� ����������). ���� ������̣�
��� ���� �������, ����� ������������ �������, ������� ��������
����������� ��������� ��������� $[B\to A]$. ��� ������ ����
�������, ��� ������ ���� ������� � ������ ���ģ����� ����
�������.

����� ������� �� $[B\to A]$ �� �������� ������ �
$f_0\hm>f_1\hm>f_2\hm>\ldots$\� ��������� ������������������
���������~$[B\to A]$. ��� ��������~$f_i$ ������� ��~$0$;
���������� �� �����. ��� ����� �������� ��������������
������������������, ������� ������� � ���������� �����
��������������� (���������~$B$ ������ �����������). ��������
��������� ������� � ����� �������, ��� � ������ ������ �����
���� ��������� ��������� ������������������ ��������� � �����
����������~$b$. � ������������ � ������������, �������� $f_0(b),
f_1(b),\dots$ �������� �������������� ������������������,
������� ������� � ���������� ����� ���������������. ��������
��������� �������, ����� �������, ��� ���~$f_i$ ����� ����������
����~$b$ � ���������� ��������~$f_i(b)$. ����� ��������~$f_i(b)$
�� ������ �� ���������, � ������ �� ����� �������� ��~$0$.
������� ��������� ������������������ ���������~$[B\to A]$ �
������� ������~$b$. ����� ��������� �����������, ��������
��������� �� ������� �������� �� ���������~$B$.

(����� ���������, ���������� ��� ���������� ���������
������������������. � ������ �� ��� ���������� ���� �������
��������. ���������� �� �� ���, � ������� ���� ���� ����������
���������; ����� $b$\� ��� ����������� ��������. � ����� �����
������������������ ��� �������� ����� ����~$b$. �� ���� �����
������������������� $f_0\hm>f_1\hm>\ldots$ ������� ��, � �������
��������~$f_0(b)$ ����������; ��� ��������� ţ ����� ����� �� ��
�������� � �����~$b$ (\��~$f_i(b)\hm=f_0(b)$). ������� �������� �
�����~$b$ ��̣�, ������� ����������� ���������
������������������ �� ��������� �������� �����, ��� ������������
�������������.)

������ �������, ��� ����� ����� ����������� ������� �����������
� ����������� ������������. ��� ��������~$n$ ��� ��������.
�����~$\gamma\hm=\beta\hm+1$. ������ (�����) �����������~$\alpha^\gamma$?
����� $B$~����������� �� ����~$\beta$. ����� �� ������ ��������
�~$B$ ����� ���������� ������� (��������� ���~$m$) �
����������� ����������� $B\cup\{m\}\to A$ � �������� ���������.
����, ��� ����� ����������� �������� �����, ��������� �� ���
������� ��~$B$ (������� ����� ���� ������������ ���������
���������~$[B\to A]$) � �������� ��~$m$. ��� ����������� �������
�� ������� ���������� �������� ��~$m$, � ����� ������� ��~$B$,
�� ���� ���������� ��������� ���������~$[B\to A]\hm\times A$, ���
� �����������.

����� ������ $\gamma$\� ��������� ���������� ������� � ���������~$C$ �����������
�� ����~$\gamma$. ��� �������� ���������~${[C\to A]}$?
��������, ���� ������� ������~$c\hm\in C$, �������� � Σ�
��������� �������, � ���� ��������� ������� ���������~$[[0,c)\to A]$.
� ���� ���������~$[C\to A]$ ��������
������������ ���� ��������� �������� (��������� ������ ������� ����� ���������
����� �������� ��������) � ������ ���
���������� ��� �������� ������ ������� ������ ��
���������� �����, ��� � �����������.
        %
\end{proof}

���������������� ���������� ���� ������� �������� ����� �����������:
        %
\begin{theorem}
        %
���� $\alpha$ �~$\beta$\� �ޣ���� ��������, ��
$\alpha+\beta$, $\alpha\beta$ �~$\alpha^\beta$ �ޣ���.
        %
\end{theorem}

\begin{proof}
        %
��� ����� � ������������ ����������� ��������.
��� �������: ���� �� ������������� ��� �������� ������ �������������
�������� $A$ �~$B$, �� ����� ������� ���������~$[B\to A]$
����� ���� ����� �������� ������� �����������
����� (�������� � �������� �� ��������� ��������),
� ����� ������� �ޣ���� �����.
        %
\end{proof}

\problskip

\begin{problem}
        %
��������, ��� $\alpha^{\beta+\gamma}=\alpha^\beta\cdot\alpha^\gamma$ �����
���������: �� �������� � � �������������� ������ ����������� �������.
        %
\end{problem}

\begin{problem}
        %
��������, ��� $(\alpha^\beta)^\gamma=\alpha^{\beta\gamma}$.
        %
\end{problem}

\begin{problem}
        %
��������, ��� ���� $\alpha\ge2$, �� $\alpha^\beta\ge\alpha\beta$.
        %
\end{problem}

\begin{problem}
        %
��������, ��� ���� $\omega^\gamma=\alpha+\beta$ ��� ���������
��������� $\alpha$, $\beta$ � $\gamma$, �� ���� $\beta=0$, ����
$\beta=\omega^\gamma$.
        %
\end{problem}

\begin{problem}
        %
����� �������� ������ ����������� � ���� ����� ���� ������� ���������?
        %
\end{problem}

\begin{problem}
        %
�������� �ޣ������~$\alpha^\beta$ ��� �ޣ���� $\alpha$ �~$\beta$,
��������� ����������� ����������� �������.
        %
\end{problem}

\begin{problem}
        %
��� ��������� �������~$\alpha\hm>1$. ������� ����������
�������~$\beta\hm>0$, ��� �������� $\alpha\beta\hm=\beta$.
(��������: ��� �����, ���� ��������~$x$ �� ���������
��� $1\hm+x\hm+x^2\hm+x^3\hm+\ldots$?)
        %
\end{problem}

\problskip
������� ������ ������� ����� ��������� ���������� ���������
� ������� � ����� �������������� ���������� �������� � ���������
���������.
    \index{���������� � ������� ���������}%
    \index{��������!���������� � �������}%
��������� ����� � ������������ ���������,
�� ������� ���������
������� �� ����� � ������������ ���������������
�������� (�
������� ������), ����� �� ���� ���������~${[B\to A]}$ ������������ �
�ޣ��� ������� � ������� ��~$A^B$. (� ���������,
��� �ޣ����~$A$ �~$B$ ���������
${[B\hm\to A]}$ �ޣ���, �~$A^B$\� ���.)

\smallskip

����� �������� ���������~$[B\to A]$ ��������� ������, ���
�������� ��� ��������� �������, �� ���� ����� ��� �����
��������, �������~$\alpha^\beta$.

���������� ��������� �������~$f\hm\in [B\to A]$. ����� ���
������� �� ���� � ������ $b_1\hm>b_2\hm>\ldots\hm>b_k$ � ���������
��� �������� $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_k$. ��� ���������� ���
�������, ������� �������~$f$.

% ---------------------------- �������� 110 ----------------------------------
��� ��� ����� ���� � ������, �������~$b_1$. � ����� �����~$b_1$
��� ����� ���� ���� ������~$a_1$, ���� �����~$a_1$. �����
������� ������� ���� ������ ����� ������� ������� ����. �������
������� ���� ����� ��������� ����� �������� � ������, �������~$b_1$, �
� �����~$b_1$ ����� �������� ��~$[0,a_1)$. ��� ����� ��
����� ������������ � ���������� ���������~$[[0,b_1)\to A]\hm\times
[0,a_1)$, � ��� ���� �������������� ����������� �������.{\looseness=1\par}

������� ������� ���� (������~$a_1$ � �����~$b_1$) �����
����������� �� ��� ���������: ��, ������� � �����~$b_2$ ������ $a_2$ �
��, ������� �~$b_2$ ����� $a_2$. ������� ������ ���������
��������������� � ���������� ���������
$[[0,b_2)\to A]\hm\times [0,a_2)$.
������� ������ ��������� ����� �����أ� �� ����� � �����������
�� �� �������� � �����~$b_3$~\��� ����� �������, $[0,f)$~���
������������� ��������� ��������� ���������
\begin{align*}
 [[0,b_1)\to A]\times [0,a_1)&+ [[0,b_2)\to A]\times [0,a_2)+\ldots+\\
  &+[[0,b_k)\to A]\times [0,a_k).
\end{align*}
�������� � ��������� (��������� �������\� ��� ������� ��������),
�������� ����� �����������:

\begin{theorem}
        %
������ �������, ������� $\alpha^\beta$, �������������� �
����
        $$
\alpha^{\beta_1}\alpha_1 + \alpha^{\beta_2}\alpha_2+\ldots+
\alpha^{\beta_k}\alpha_k,
        $$
��� $\beta\hm>\beta_1\hm>\beta_2\hm>\ldots\hm>\beta_k$,
� $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k\hm<\alpha$.
����� ������������� ���������� � ����� ����� ���������� ����
�������� ���������, �������~$\alpha^\beta$.
        %
\end{theorem}

\begin{proof}
        %
����������� ������ ������������� �� ��� ��������. ���������
����������� ������� �� ����, ��� ����� ����� ������ ����
�������� ��������� �������� � ���������~$[B\to A]$ (��� $A$
�~$B$ ����������� �� ����� $\alpha$ �~$\beta$) � ������
������ ������������� ������ ��������� �������.
        %
\end{proof}

��� ����������� �������� ��������� ���� �����
(�.~\pageref{position-ordinal-system}) \�� ����������� �������%
\index{����������� ������� ���������}
����������� � ���������� $\alpha$\��\ ��� ���������, �������
$\alpha^k$; ������ ������~$k$ ����� ������������ ����� �������.

% ---------------------------- �������� 111 ----------------------------------
����� ���� �� ����� �������, ��� ���������� ��������� $[B\to A]$
�������� ���������� ����� ����
        $$
\alpha^{\beta_1}\alpha_1 + \alpha^{\beta_2}\alpha_2+\ldots+
\alpha^{\beta_k}\alpha_k
        $$
(��� $\beta\hm>\beta_1\hm>\ldots\hm>\beta_k$ �
$\alpha_1,\dots,\alpha_k\hm<\alpha$) � ������������ �������� �� ���.

������ ��� �������, ��� �������� �������� � ������������������
        $$
\omega^\omega, \omega^{(\omega^\omega)},\ldots
        $$
������ �� ��� ��������� \�� ������������\��\
����������� ����
        $$
\omega^{b_1}a_1 + \omega^{b_2}a_2+\ldots+
\omega^{b_k}a_k,
        $$
��� $a_i$ � $b_i$\� ����������� ����� (� $b_1\hm>\dots\hm>b_k$).
���� � ��������
$b_1, \dots, b_k$ ��������� ������ ����� \�� �����������\��\
��������� ���������� ����, �� ���������� \�� �����������\��\ ���������
����������� �� ����~$\omega^{(\omega^\omega)}$. �������� � �����������
����������� ���������, �� ������� ����������� ���������, ������� ��������
��������� �������~\���  ���� ���������� ��� ��� ���������, �� ���� ��
������������ ����� ������ (������� ��� ������� ��������� ��� ��
����� �������), �� ��������� ���������, ������������� �� ����
        $$
\sup(\omega, \omega^\omega, \omega^{(\omega^\omega)},\ldots)
        $$
���� ������� ������������~$\varepsilon_0$.

\begin{problem}
        %
��������, ���
        $$
\varepsilon_0 = \omega + \omega^\omega + \omega^{(\omega^\omega)}+\ldots
        $$
\end{problem}

\begin{problem}
        %
��������� ��� ����������� ����� �������� \�� ��������� ������ ���������~$k$
��~$l$\��\ (����� $k$ �~$l$\� ����������� �����, ���ޣ�~$l\hm>k$)
��������� �������: ������ �����~$n$ ������� � $k$\� ����� �������, �� ����
�������� �� ��������~$k$, ���������� �������� ����� ������� � $k$\� �����
�������, ����� ���������� ����� ��������~\��� ����� �� ���� �������
������� ���������~$k$ �� ���������~$l$ � �������� �������� �������������
���������. ��������, ��� ����� � ������~$n$ � �������� ������������������
�������� \�� ���������
% ---------------------------- �������� 112 ----------------------------------
�������~-- ��������� ������ ���������~$2$ ��~$3$~--
��������� �������~-- ��������� ������ ���������~$3$ ��~$4$~--
��������� �������~-- ��������� ������ ���������~$4$ ��~$5$~--\,$\dots$\��,
�� ���� ��� ������ ���ģ� � �����, \��
��������� ���� � ������� ������� �����
������. (��������: ������� ��� ��������� ����� �� �������~$\omega$; ���������
��������� ������������������ ���������, �������~$\varepsilon_0$.)
        %
\end{problem}

\section{���������� ���������}

� ����������� ������� ����������� � �������������� �������������
�������� � ��������� ����� �������� ������� �� �����~�����\index{����� �����};
��� ���� ����������� ���������� ����� ���������, ��
��������� ����� �������. ��� �� ����� ������ ��������, �����
����� ������� �� ������� (�� ������� ����, ������, ��� �� ���
��������� ������), � ���������� ������������ ������ ��������������
����������� � ����� ����. � ���� ������� �� �����ģ� ��� ��������
�������.

������ �� ��� �������� ����������� ��������\index{����������� ���������}%
\index{���������!�����������}. (��� �������� ��
        \glossary{������@\������}%
������������� ������������ �������������� ������.) ���������
����������� �������������� ������ ����������
$\sigma$\�\emph{��������}\index{�������@$\sigma$\� �������}, ����
��� �������� ������������
�������� � �ޣ���� ����������� � �����������, � �����
������������ �������� � ����������. (��� ��������, ��� ������ �
������ ����������~$A$ ��� ��������� �������� ���
����������~$\bbR\setminus A$, � ������ � ������ �����������
$A_0$, $A_1$, $\dots$ ��������� �������� �� ����������� $A_0\hm\cup
A_1\hm\cup\ldots$ � ����������� $A_0\hm\cap A_1\hm\cap\ldots$) ������:
���������~$P(\bbR)$ ���� ����������� ������, ��������, ��������
$\sigma$\� ��������.

\begin{theorem}
        \label{borel-sets}
���������� ����������� $\sigma$\� �������, ����������
��� �������~$[a,b]$ �� ������.
        %
\end{theorem}

\begin{proof}
        %
��������� ����� ���������� ���: ���������� ���
��������� $\sigma$\� �������, ���������� �������. �� �����������
����� $\sigma$\� ��������,
� ���� ����� ��������� ��� �������.
(������ ����������� ������ ���������
$\sigma$\� ������ ����� $\sigma$\� ��������\� ��� ���������
��������� �����������.) ��� $\sigma$\� ������� � �����
�������.
        %
\end{proof}

% ---------------------------- �������� 113 ----------------------------------
���������, �������� � ��� ����������� $\sigma$\� �������,
�������� \emph{������������}\index{����������� ���������}%
\index{���������!�����������}.

\begin{problem}
        %
��������, ��� ������ �������� � ������ ��������� ������������
������ �������� �����������. (��������: �������� ���������
���� ����������� ������������ � Σ� �������� � �������������
�������.)
        %
\end{problem}

\begin{problem}
        %
��������, ��� ��������\index{��������} ������
������������ ��������� ��� �����������
����������� �������� ����������� ����������.
        %
\end{problem}

\begin{problem}
        %
����� $f_0$, $f_1$, $\dots$\� ������������������ ����������� �������
� ��������������� ����������� � ����������. ��������, ��� ���������
�����~$x$, � ������� ������������������ $f_0(x)$, $f_1(x)$, $\dots$
����� ������, �������� �����������.
        %
\end{problem}

\problskip
����������� ��������� ������ ������ ���� � \emph{�������������
������ ��������}\index{������������� ������ ��������}. �� �� �����
���� ������������������ �������������
������������� �������� (���� �� ����� ���������� �� �������������
�����~�����) �� ������� ��������� �������:

\begin{theorem}
        \label{borel-sets-continuum}%
        %
��������� ���� ����������� ��������\index{����������� ���������}%
\index{���������!�����������} ����� �������� ����������.
        %
\end{theorem}

\begin{proof}
        %
����� ����������� �������� ����� ������� ����������. ���Σ� �
�������� � ���������� � ��������. �� ��������� ���� ����������
������������ �ޣ���� ����������� � ����������� ��� �����������
�������� (�������� � ���������� � ���).

\begin{problem}
        %
��������, ��� ��� ���� ��������� (����� �������) ��� ��������
� ��� ��������� ������������ ������.
        %
\end{problem}

\problskip
����� ����� ����������� �ޣ���� ����������� � �����������
��� ����������� ��������~\���

����� ���������, ����� $\mathcal{B}_0$\� ��������� ��������,
��������� �� ���� �������� � ���������� � ���. ���������~$\mathcal{B}_{i+1}$
�� �������� ��� ��������� ��������, ����������
�ޣ����� ������������� ��� ������������� �������� ��~$\mathcal{B}_i$.

��� ���������~$\mathcal{B}_i$ ������� �� ����������� ��������
(��������� �ޣ���� ����������� ��� ����������� �����������
�������� �������� �����������). ����������� �� ��� ���
����������� ���������? ������ ������, ���: ���� �� ����ͣ� ��
������ ��������� �� ������� ������~$\mathcal{B}_i$
% ---------------------------- �������� 114 ----------------------------------
��� ���� $i=0,1,2,\dots$ � ���������� ��
�ޣ���� �����������, �� ��� ������ ����� �� ������������ ��
������ �� �������. ������� �� ���������� �����~$\mathcal{B}_\omega$,
�������������� ����� ����������� ����~$\mathcal{B}_i$ �� ����
�����������~$i$, �����~$\mathcal{B}_{\omega+1}$,
$\mathcal{B}_{\omega+2}$~\��� ����������� ���� ������������������
������� �����������
�������~$\mathcal{B}_{\omega2}$ � ���������� ����������.

����� ���������� �����������~$\mathcal{B}_\alpha$%
\index{$\mathcal{B}_\alpha$}
��� ������ ��������~$\alpha$. ��� �������� �
������� ������������� ��������. ������, ���~$\alpha\hm=\beta\hm+1$
���������� ������~$\mathcal{B}_{\alpha}$ ����� �ޣ���� ����������� �
����������� �������� �� ������~$\mathcal{B}_\beta$. ���� $\alpha$\�
���������� �������, �������� ��~$0$, �� �����~$\mathcal{B}_\alpha$
������������ ����� ����������� ����~$\mathcal{B}_\beta$ ��
����~$\beta\hm<\alpha$. (�����~$\mathcal{B}_0$ �� ��� ����������.)

�� ����������� �������, ��� $\mathcal{B}_\alpha \hm\subset
\mathcal{B}_\beta$ ���~$\alpha\hm<\beta$, ��� ��� �� ��������
������������ ���� �������. ������ ����� ������� ������������
�������� � ���������� (��� ���������� ������ �� �� ����
������������, ����� �� ��������). ��� ������~$\mathcal{B}_{\alpha}$
���������� � ������ ����������� ��������, ��� ��� �� ���������
���� �������� �ޣ����� ����������� � �����������, ������������
������� ����� ����������� �������� �������.

��������� ������: ��� ������ ����� ���������� ��� �����������?
�����������, ��� ���������� ����� �� ������� ���ޣ�����
��������.

����� $\aleph_1$\index{$\aleph_1$}\� ����������
���ޣ���� �������. (���\� �����������
��� ���� �����������.) ������� �������, $\aleph_1$ ���� ��������� ����
�ޣ���� ���������, ������������� ���������� $<$ �� ���������.

\textsf{�����.} ����� $\mathcal{B}_{\aleph_1}$ �������
������������ �ޣ���� �����������
� ����������� � ������ �������� ��� ����������� ���������.

�������������� �����. ����� ������� �ޣ���� ������������������
�������� $B_0, B_1, \dots$, ������������� $\mathcal{B}_{\aleph_1}$.
�������~$\aleph_1$\� ����������, � �����~$\mathcal{B}_{\aleph_1}$
�������� ������������
������� �������. ������� ������ �� ��������~$B_i$ �����������
������\� �� ������~$\mathcal{B}_{\alpha_i}$, ��� $\alpha_i$\�
% ---------------------------- �������� 115 ----------------------------------
��������� �������, �������~$\aleph_1$, \�� �������� ���
�ޣ���� �������. ������� $\beta=\sup_i \alpha_i$. �������~$\beta$ ����
������ ������� ����� �ޣ����� ����� �ޣ����
��������� � ������ �ޣ���. � ����� ����, ����������
��������~$\alpha_i$ ��� ��������� ������� � �����\� �� ������� ��������
(��������, �~$\aleph_1$); �� ������ ������� ����� �����
������������ �ޣ����� ����� �ޣ���� ��������� �������� �
������ ����� �ޣ���� ���������.

������ ������ ����������� ����� ��������: ���~$B_i$ �����
�~$\mathcal{B}_\beta$, � ������ �� ����������� (��� �����������) �����
�~$\mathcal{B}_{\beta+1}$ � ��� ����� �~$\mathcal{B}_{\aleph_1}$
(��������� $\beta\hm+1$~���� �ޣ���� ������� � ������~$\aleph_1$).

����� �������, ����� $\mathcal{B}_{\aleph_1}$ �������� $\sigma$\�
��������, ���������� �������, � ������ �������� ���
����������� ���������. ����� ��������.

��� �� ��� ��������, ��� ������~$\mathcal{B}_{\alpha}$ �������
�� ����������� ��������, ��� ��� �����~$\mathcal{B}_{\aleph_1}$
��������� � ������� ���� ����������� ��������.

��� ����� ������� ��� �������� �������? �����~$\mathcal{B}_0$ �����
�������� ���������� (������� �������� ������ �������). ����
�����~$\mathcal{B}_\alpha$ ����� �������� ����������, �� � ���������
�����~$\mathcal{B}_{\alpha+1}$ ����� �������� ���������� (������ ���
������� �������� �ޣ���� ������������������� ���������
��������������� ������, �~$\mathfrak{c}^{\aleph_0}\hm=\mathfrak{c}$).
������ ���������� �����
���� ����������� ����������, � ���� �� �� ������� �� �������
�ޣ���� ���������, ����������� ��� ����� �ޣ���,
�~$\mathfrak{c}\aleph_0\hm=\mathfrak{c}$, ��� ��� �� �� ������� ��
������� ����������. �������, $\mathcal{B}_{\aleph_1}$~����
����������� ���ޣ����� ����� ���������� ������� (� ������,
$\aleph_1$~�������), �� ��� ��� $\aleph_1\hm\le\mathfrak{c}$,
��~$\mathfrak{c}\aleph_1\hm=\mathfrak{c}$.

����� �������, �����~$\mathcal{B}_{\aleph_1}$, �� �� ����� ����
����������� ��������, ����� �������� ����������.
        %
\end{proof}

������ ���������� ����������� �������� ���������� ������� �����.
������, �� ������ ������ ��������������� ��� ������: ��������\index{��������
���������}\index{���������!��������} �
���������\index{��������� ���������}\index{���������!���������} ���������.
�� ��������� ������ ���������
������~$F_\sigma$\index{$F_\sigma$} (�ޣ���� ����������� ��������� ��������)
�~$G_{\delta}$\index{$G_{\delta}$} (�ޣ���� ����������� �������� ��������). �ݣ ��
������� ���� ����� �ޣ���� ����������� �������� ��~$F_{\sigma}$ � �ޣ����
����������� ��������
% ---------------------------- �������� 116 ----------------------------------
��~$G_{\delta}$,~\��� ����� ������ ��������
����� ������������
� ����� ������ ���������, ��������� ������� �� ������ ����� ��
������������. ����� ���������, ��� ������� ����� ����� ��������
� ����� ������������ ��������.

\problskip
\begin{problem}
        %
��������, ��� ����������� ���� $F_{\sigma}$\� �������� ��������
$F_{\sigma}$\� ���������� (� ������ ������ $F_{\sigma}$, $G_{\delta}$,
� ����� ������ ��������� �������, ��������
������������ �������� ����������� � �����������).
        %
\end{problem}

\begin{problem}
        %
��������, ��� $F_{\sigma}$- � $G_{\delta}$\� ��������� �����
� ������~$\mathcal{B}_2$ � ������������ � ����� ��������������.
        %
\end{problem}

\begin{problem}
        %
��������, ��� ������ ��������� ������~$\mathcal{B}_2$ ���������� ��
���������� $F_{\sigma}$- ��� $G_{\delta}$\� ��������� �� �����
��� �� �ޣ���� ���������.
        %
\end{problem}

\begin{problem}
        %
��������, ��� ������ ��������� ������~$\mathcal{B}_3$ ��������
�ޣ���� ������������ $F_{\sigma}$\� �������� ��� �ޣ���� ������������
$G_{\delta}$\� �������� � ��� ����������� ����������� �����
��� ����� ������� ������� ����� ��������.
        %
\end{problem}

\begin{problem}
        %
��������, ��� ���������� �������� ��������� �� ���������,
����� ������������ ������� �������� ����������� ���
�������� ������������ ������. ��������, ��� ����������
$G_{\delta}$\� ��������� �� ���������, ����� ������� ��������
����������� ��� $G_{\delta}$\� ������������ ������.
�������� ����������� ����������� ��� ��������� �������.
        %
\end{problem}

\begin{problem}
        %
��������, ��� ���������� $G_{\delta}$\� ���������,
�� ���������� $F_{\sigma}$\� ����������. ��������, ���
���������� �ޣ���� ����������� $G_{\delta}$\� ��������,
�� ���������� �ޣ���� ������������ $F_{\sigma}$\� ��������
\��� (��������: �������������� ���������� �������.)
        %
\end{problem}

\medskip

�������� ����� ���������� ��� ������������� ���������
���� ��� ����� ��������� �� \�� ������\��. ��������, �����
���������������� �������� �������������� ���������\index{�������������
���������}\index{���������!�������������}.

\begin{theorem}
        \label{ranks-for-well-founded-sets}
����� $X$\� ������������� ���������. ����� ���������� �
����������� �������~$\rk$, ������̣���� ��~$X$ � �����������
�������� � ������ ���������, ��� �������
        $$
\rk(x)=\min\{\alpha\mid\text{$\alpha>\rk(y)$ ��� ������ $y<x$}\}
        $$
(��� �����~$x\hm\in X$).
        %
\end{theorem}

% ---------------------------- �������� 117 ----------------------------------
\begin{proof}
        %
��������� ���������~$X_{\alpha}$ ��������� �� ��������~$\alpha$:
$X_{\alpha}$~������� �� ���� ���������~$x\hm\in X$, ��� �������
��� ������� �� (�~$X$) �������� �����������~$X_{\beta}$ �
�������� ���������~$\beta$:
        $$
x \in X_{\alpha}
     \ \Leftrightarrow \
(\forall y < x)\,(\exists \beta < \alpha)\, (y\in X_{\beta}).
        $$
�������, ��� ����� (��� � � ������������ �������) ����~$<$
������������ � ���� ������ �������: ��� ������� ��~$X$
� ��� ������� �� ���������.

��������, ��� � ������~$\alpha$ ���������~$X_{\alpha}$ ���ԣ�
(������, �� �������). �������, ��� ��� ����������
�������~$\alpha$ ��������� $X_{\alpha}$ ��������� �ӣ~$X$. ����
��� �� ���, �� ��~$\beta \hm< \gamma$ �������~$X_{\beta}\hm\subsetneq
X_{\gamma}$ (������������ ����������� �������, �� ������� �~$X_{\beta}$,
�����������~$X_\gamma$). ������� ����������� $\alpha\hm\mapsto
X_{\alpha}$ ����� ���������, ��� ���������� (����ͣ� �������, ��
�������� �������~$P(X)$; �������������� ��� ��������� ���
������� �����).

������ ���������~$\rk(x)$ ��� �����������~$\alpha$, ���
����\-���~$x\hm\in X_{\alpha}$. ���� $\rk(x)=\alpha$ �~$y\hm<x$,
��~$\rk(y)\hm<\alpha$. (�~����� ����, �� ����������� $X_{\alpha}$
�� $x\hm\in X_\alpha$ �~$y\hm<x$ �������, ���~$y\hm\in X_{\beta}$ ���
���������~$\beta\hm<\alpha$.) ��������, ���� ��� ���������� ��������~$\gamma$
��������� �����������~$\rk(y)\hm<\gamma$ ��� ����~$y\hm<x$,
��~$\rk(x)\hm\le\gamma$. �~����� ����, ����� ����� �������~$y\hm<x$ �����������
����������~$X_{\beta}$ �~$\beta\hm<\gamma$ (�������~$\beta\hm=\rk(y)$)
� ������~$x\hm\in X_{\gamma}$ �~$\rk(x)\hm\le\gamma$.

����, ����������� ���� �������~$\rk$ �������� ���������
���������. �������������� �������� ������ �����: ���� ����
��� ����� �������, ���������� ����������� ����� �~$X$, �� �������
��� �����������, � ����� �� ������� ������������.
        %
\end{proof}

� ���������, �ޣ���� �������� ����� ������������ ���
������������� ��������\index{������}, � ������� ��� ����������� �����. ��
����� �������������
\emph{�������� ������� � �������� ��� �ޣ���� ����������}
(�
������ ������� �������� ��� �ޣ���� ����� �������), � �������
��� ����������� ����� (������������������ ������, � �������
������ ���� ��� ����������).

% ---------------------------- �������� 118 ----------------------------------
��������� ����� ������ ����� ���������� ��� ������������~$T$
���������~$\bbN^*$\index{$\bbN^*$} �������� ������������������� �����������
�����, ��������� ������������ ������ �������� (����
������������������ �����������~$T$, �� ����� ţ ���������
������� �����������~$T$). �������� ���������~$T$ �� ��������
\emph{���������} ������; �������~$y$ ����
\emph{���} �������~$x$, ����
$y$~���������� ��~$x$ ������������� ������ ������\� �� ������
�����. �������~$y$ �������� \emph{��������} �������~$x$,
����~$y$ ���������� ����������� �~$x$ ������ ��� ����������
�����.

�� �������, ��� � ������~$T$ \emph{��� ����������� �����},
����
�� ���������� ����������� ������������������ ����������� �����,
��� ������ ������� �����������~$T$. �~���� ������ ���������
�������
        $$
y<x \ \Leftrightarrow \ \text{$y$ ���� �������~$x$}
        $$
����������� � ����� ��������� ���������� �������, ���������
����� ���� ������ ������~$T$. ���� ��� \emph{�����}
(������������������ �����~$0$) � ����� �������� \emph{������
������}\index{���� ������}.

\begin{theorem}
        \label{countable-ordinals}%
(\textsf{�})~%
���� ������ ������ (���������� ����) �������� �ޣ���� ���������.

(\textsf{�})~%
������ �ޣ���� ������� �������� ������ ���������� ������.
        %
\end{theorem}

\begin{proof}
        %
(�)~%
����� ���� ���������� ������, �� ���� ���� ��� �����, ��������
���ޣ���� ���������. ����� ���� ������ �� ������� ����� �����
���ޣ���. (� ����� ����, ������ ������� ����� �ޣ����� ���������
�ޣ���� ��������� �������� �ޣ���� ���������; ��� ����������
�����, ���� ������������� ��� �������� ��� ��������� �������
��������\� ����� ������ ������� ����� ����� ������������.)
� ����� ���� � ���� ������� ���� ��� ���ޣ����� �����~\���
���� ������� �� ����� ����������, � �� �������� �����������
����� � ������������ � ��������������.

(�)~%
��� ����������� ������������ ���������: ����� $\alpha$\� ����������
�ޣ���� �������, ��� �������� ������ ������ ���. ����� ���
���� ������� ��������� �������
% ---------------------------- �������� 119 ----------------------------------
����. ����ͣ� ��� �������
� ������� �� ������������ � ����� ������ (�� ����� ������
��������� ����� ������ �����). ����� ������ ����� �����
�ޣ���� ��������� � ���� ��� ����� �����~$\alpha$.
        %
\end{proof}

\problskip
\begin{problem}
        %
����� ������� �ޣ���� ������, �� ������� ����������� ������.
�����������, ��� � ������ ��� ����� ��������� ������� ���
���������� �� �������, � � ������ ���������� ������� ����� ����
����������� ��� �����������. ��� ����������� ������ ������
��������� ����������� ���������? (��������: ��������, ��� �
������ ������� ����� ������������ ������� �������� ���������
���������, ������������� � ���������.) ��������, ��� ���
����������� ��������� ����� ���� �������� ����� ��������.
        %
\end{problem}

������� � ���������, ������������� � ���� ������, ������������
����� ��� �� ����������� �������, ������������ �� ��������
� ���������� � ��� � ������� �������� �ޣ����� �����������
� ����������� (�������� ������� ��������������� ��
�������� ��������). ����� ������� �������, ��� �����������
���������\� ��� ���������, ������������ � ������� �����
������.

\begin{problem}
        %
��������, ��� ��������� ����������� �������� ����� ��������
����������, ��������� \�� ����������� �������\��\� �����������
�������, � ������� ��� ����������� ������. (��� ��������������
��������� ��� ���������, ������������� �������� � ���� �����
�����\� ���� � ���������� ������� ������.)
        %
\end{problem}

\medskip

� ���������� �����ģ� ������ ��������, ��� ������, ������
������������� ������������� �������� � ���������.

\begin{theorem}
        \label{funny-set}
���������� ��������� ����� �� ���������, �������
������������ � ������ ������ ����� � ���� ������.
        %
\end{theorem}

��� ������������ ������ ����� ��� ������������� ����� ����������
(����������� �������� ���� ������������ �� ������). ��
���������� �� ����� ���������� �� ��� ������.

\begin{proof}
        %
���������� � ��������� ����� �������������� ���: �������
��� ����� �� ����� �� ����� ������, �� ����� ������
���������� ��� �� ����� ��� � ���� ������.

����� ������� ��� ��������� ������������� ���������. �����
$\alpha$\� ����������� �������, ������� �������� ����������.
(���� ���������\� ��������\index{�������� ����������} �����,
�� �� ��������� � $\aleph_1$,
�� ��� ��� �� �����.) ����� ��������� ���� ������� ���������
����� ��������� �� ������� ����������� ������������ �
���������� ���� ������ �� ���������. ����� $l_{\beta}$\� ������,
��������������� ��������~$\beta\hm<\alpha$.

% ---------------------------- �������� 120 ----------------------------------
��� �������~$\beta\hm<\alpha$ �������� ���������~$M_{\beta}$, �
������� ������� ��� ����� �� ����� �� ����� ������, ���������
�������. ��������� ��� ����������� ����� ���������~$M_{\gamma}$
��� ����~$\gamma\hm<\beta$. ����� �� � ���� ��������� (���������
���~$T$) �����\� �� ��� ����� ������ �� ����� ������? ���� ��,
�� ��� ����� ������� �� �����\� �� �������� $M_{\gamma_1}$, $M_{\gamma_2}$,
$M_{\gamma_3}$; ����ͣ� ���������� �� ���������
$\gamma_1$, $\gamma_2$, $\gamma_3$; � ��������������� ��������� �����
��� �����, ������� �� ����� ������, ��� ������������
������������� ��������.

���������, �� �������� ������ ���������� ������ $l_{\beta}$
���������~$T$. ����� ����� (�� �����������) �� ������ ����.
���� �� ����� ���, �� �ӣ ������ � �� ����� ����� �� ���������,
������, ���~$M_{\beta}\hm=T$. ���� �� ������, �� �� ������
�������� ����� ����� (�� ����), �� ������ ���, �����
��� ���� �� ������������ �ң� �����, ������� �� ����� ������.
������� �������, ������ ��������� �����, ������� ����� ��
�����������~$l_{\beta}$ � �������, ����������� ����� ����
��� ��������� �����.

������� ����� ������ (�� ���� ������� ��� ��� ��������� �����)?
�� ���������� �����, ��� ��� ��� ��������� ����� ����� �� ��� ��
������ ������~$l_{\gamma}$ ���~$\gamma\hm<\beta$. (������ ������,
��� ������� �������� � ����������� �������������.) �����
�������, ���������~$T$ �� �������� ����~$2\beta\hm=\beta$, � ���
����� �� ������ $\beta^2\hm=\beta\hm<\mathfrak{c}$. �������
�����ݣ���� �����
���������� ���� ����� (�� ��������) ����� ������~$l_{\beta}$, �
����� ������� ��� �����ۣ���� �����.

������ �������� ���������� ���������~$M_{\beta}$ ��� ����
���������~$\beta\hm<\alpha$ � �������� ������� ���������. (��
������� ��� ����� �� ����� ������ � Σ� ��������� �� �����, �
������ ������ ����� ���� ��� ������ ����������� � ��� ����� ��
��� ����� ����������.)
        %
\end{proof}

\begin{problem}
        %
������� ������ � ��������� \�� ������������ ��������
����������\��:\index{���������\� ��������} �����
$\aleph_1=\mathfrak{c}$. ���������� ������� $[0,1]$ ��
����~$\aleph_1$. ���������� ������� ���� ����������, ������
������� �� ���� $(x,y)$, ���� $x<y$ (� ������ ����� �������), �
���� � ��������� �������. ����� ��� ������������� $x$ ������
$y\mapsto f(x,y)$ ����� ������� �����, ����� �ޣ�����
���������, � ������ ������������ � $\int f(x,y)\,dy=1$ ���
�����~$x$. � ������ �������, ������� $x\mapsto f(x,y)$ �����
���� �����, ����� �ޣ����� ���������, ��� ��� $\int
f(x,y)\,dx=0$. �������� ������������ � ��������
������~\index{������
�������}\index{�������!������}\glossary{������@\������}, �������
����������, ���
        $$
\int_0^1\left(\int_0^1 f(x,y)\,dy\right)\,dx=
\int_0^1\left(\int f(x,y)\,dx\right)\,dy
        $$
\end{problem}
