\section{������ ������������� ���������}\index{���������!������ �������������}
        \index{������ ������������� ���������}%
        \label{well-ordered-sets}

������������� ������� ������������� ��������� ����������
\emph{������ ��������������}, � ��������������� �������\� \emph{�������}.
        \index{������ �������}%
        \index{���������!������� �������}%
��� �������� �������� �������
����������� � ������������ �������� ���������, ��� ���
�� ������ ������������� ���������
������ �������� ������������ �����
����������
% ---------------------------- �������� 66 ----------------------------------
�������.

�������, ��� �������� ������������� ���������, � ������� ������
�������� ������������ ����� ���������� �������, �������������
�������� ������� ������������� (� ����� ����,
������ �������������� ���������
����� ���������� �������, ������� ����� ��� ��������
��������).

������� ������ ������������� ��������: $\bbN$,
$\bbN\hm+k$ (����� $k$~���������� �������� �������
������������� ��������� �� $k$~���������),
$\bbN\hm+\bbN$,~$\bbN\hm\times\bbN$.

���� ����\� ������, ��� ����� ���� �������� ������
������������� ���������. ���Σ� � ���������� �������
���������.

\begin{itemize}
        %
\item
������ ������������� ��������� ����� ���������� �������.
(���������������� ��������� �����������.)
        %
\item
��� ������� ��������~$x$ ������ �������������� ��������� (�����
�����������) ���� ��\-���\-�����\-���\-�� ���������\index{���������������
��������� �������} �� ��� �������~$y$
(��� ������, ���~$y\hm>x$, �� �� ����������~$z$, ���
��������~$y\hm>z\hm>x$). � ����� ����, ���� ��������� ���� ���������,
�������~$x$, �������, �� � Σ� ���� ����������� �������~$y$,
������� � ����� �������. ����� ������� ������� ����������~$x\hm+1$,
��������� �� ���\� $x+2$~\���
        %
\item
��������� �������� ������ �������������� ��������� ����� �� �����
��������������� �����������. ��������, �
���������~$\mathbb{N}\hm+\mathbb{N}$ ���� ��� ��������, �� �������
��������������� ����������� (���������� �������, � �����
���������� ������� ������ ����� ������������ ����). �����
�������� �������� \emph{�����������}\index{���������� �������}.
        %
\item\label{limit-natural}
������ ������� �������������� ��������� ����� ���~$z\hm+n$, ���
$z$\� ����������, � $n$\� ����������� ����� (�����������~$z\hm+n$
���������� � ��������� ���� ������). � ����� ����, ���� $z$~��
����������, ����ͣ� ����������, ���� � �� ������������\�
�� ��� ���������� \���, ���� �� ���ģ� �� �����������
% ---------------------------- �������� 67 ----------------------------------
(���������� ������������ ��� �� �����, ��� ��� ��������� ������
�����������). ��������, ����� ������������� ����������
(� �������� ����� ���� ������ ���� ��������������� ����������).
        %
\item
����� ������������ ������ ��������� ��������� ������ ��������������
��������� ����� ������ ������� �����.
(��� ������, ������������~$X$ ��������
�������������� ���������~$A$ ���������� \emph{������������ ������}%
\index{���������!������������ ������},
���� ��� ����� \emph{������� �������}\index{������� �������},
\�� �������~$a\hm\in A$,
��� �������� $x\hm\le a$ ��� ����~$x\hm\in X$. ���� �����
���� ������� ������ ������� ������������ ���� ����������, �� ���
���������� \emph{������ ������� ������}\index{������ ������� �����}.)

� ����� ����, ��������� ���� ������� ������ ������� � ������
����� ���������� �������. (������� � �������, ��� ������ �
������ ������ ����� ��� ������ �������������� ���������
���������, ��� ��� ������ ��������� ����� ���������� �������.)
        %
\end{itemize}

����� $A$\� ������������ ������ ������������� ���������. ���
���������� ������� ��������� �����~$0$. ��������� �� ��� �������
��������� �����~$1$, ��������� ��~$1$\� �����~$2$ \��� ����
��������� �������, ������� ���� ����ף���. ���� ����������,
���������, ��������� �� �� ��� �������� ���������~$A$. ���� ���,
����ͣ� ����������� ������� �� ����������. ��������� ���~$\omega$%
\index{$\omega$}.
��������� �� ��� ������� (���� �� ����) ���������~$\omega\hm+1$,
����� $\omega\hm+2$~\��� ���� � �� ���� ��������� ��
�����������, �� ����ͣ� ���������� ������� �� ����������,
����ף� ���~$\omega\hm\cdot2$\index{$\omega\cdot 2\ $},
� �������� ��� ���������. �����
����� $\omega\hm\cdot3$, $\omega\hm\cdot4$~\��� ���� � �� ���� ��������� ��
��������, ����������� �� ���������� ��������� ����ף�~$\omega^2$%
\index{$\omega^2$}. �����
������ $\omega^2\hm+1$, $\omega^2\hm+2$, $\dots$, $\omega^2\hm+\omega$,
$\dots$, $\omega^2\hm+\omega\hm\cdot2$,~$\dots$,
$\omega^2\hm\cdot2$,~$\dots$, $\omega^2\hm\cdot3$, $\dots$, $\omega^3$,
$\dots$ (�� �� �������� ������ �������� �����������).

���, ���������� ������, ���������� ��� �����������? ����������
�������� ��������� �����������. ���
% ---------------------------- �������� 68 ----------------------------------
���� �������
����� �����������: ���� ������� ������������� ���������~$A$
������� �� ��� (����������������) ����� $B$ �~$C$, ���ޣ� �����
�������~$B$ ������ ������ ��������~$C$, �� $B$~��������
\emph{��������� ��������}\index{��������� �������} ���������~$A$.
������� �������,
������������~$B$ ������� �������������� ���������~$A$ ��������
��������� ��������, ���� ����� �������~$B$ ������ ������
��������~$A\hm\setminus B$. �ݣ ���� ����������������: $B\hm\subset A$
�������� ��������� ��������, ���� �� $a,b\hm\in A$, \;$b\hm\in B$
�~$a\hm\le b$ �������~$a\hm\in B$. �������, ��� ��������� �������
����� ���� ������ ��� ��������� �� ���� ����������.

������� ����� �� ��������� ������� ������� ���������
��������:

\begin{itemize}
        %
\item
��������� ������� ������ �������������� ���������
(���, �������, � ����� ������������) ��������
������ ������������� ����������.
        %
\item
��������� ������� ���������� ������� ���� ��������� �������
��������� ���������.
        %
\item
����������� ������ ��������� ��������� �������� (� ����� � ���
�� ������������� ���������) ���� ��������� ������� ���� ��
���������.
        %
\item
���� $x$\� ������������ ������� ������ ��������������
���������~$A$, �� ���������~$[0,x)$ (��� �������� ���������~$A$,
�������~$x$) �~$[0,x]$ (�������� ���������~$A$, ������� ���
������~$x$) �������� ���������� ���������.
        %
\item\label{initial-segment-structure}%
������ ��������� �������~$I$ ������ ��������������
���������~$A$, �� ����������� �� ���� ����������, ����� ���~$[0,x)$
��� ����������~$x\hm\in A$. (�~����� ����, ����~$I\hm\ne
A$, ����ͣ� ���������� �������~$x$ � ���������~$A\hm\setminus I$.
����� ��� ������� �������� �����������~$I$, ���~$x$ ��
�����������~$I$ � ��� �\'������~$x$ �������� �� �����������~$I$,
����� ���������� �� ������������ � ������������ ����������
�������.)
        %
% ---------------------------- �������� 69 ----------------------------------
\item
����� ��� ��������� ������� ������ �������������� ���������
�������� �� ���������, \��
���� ���� ������������ �������.
(������� �� ���\-��\-��\-����.){\looseness=1\par}
        %
\item
��������� ������� ������ �������������� ���������~$A$,
������������� �� ���������, �������� ������ �������������
���������. ��� ��������� ������� �� ����������� ��������
(�ӣ~$A$) � ��������� �����, ���������� ���������~$A$. (� �����
����, ��������� ������� ���������~$A$, �� ����������� �~$A$,
����� ���~$[0,x)$, � ������������~$[0,x)\hm\leftrightarrow x$ �����
������������.)
        %
\end{itemize}

����������� � ������ ����������� � ���������������� ����������
��������� ��������� �� ������ �������������� ���������. ���
������ ����� ����� ������� ��������������� ������ �����������:
���� ������ ������������� ��������� ����������, �� ��� �����
��������� �������, ����������~$\omega$. (������ � ���������
����������� ����� ������ � ��������, ������ �����������
�����������~$\omega$\index{$\omega$}, � ��~$\bbN$.)

�� �� ���� ���� ����������� �� ������������. ��� ��������� �����
����� ��������� ��������������� ������ �����: ���� $A$~���������
���������� ���������� ������� ���������~$\omega^2$, ���� ���
����� ��������� �������, ����������~$\omega^2$. (�����
$\omega^2$\index{$\omega^2$}\� ������ ������������� ��������� ��� �����������
�����: ������������ ������� ������ ���������� ���, � ��� ��
���������\� ������.)

������ ����� ����� �����������: ��� ����� ���� ������
������������� �������� ���� ��������� ���������� �������
�������, � �������������� ������� ����� ��� ����� � ����������
�����ģ����� �����������. �� ����� ������� ��� ���������, �����
��������� ����������.

% ---------------------------- �������� 70 ----------------------------------
\section{������������� ��������}\index{������������� �������� (��������)}
        \label{transfinite-recursion}

������� \�� ��������\��\ � \�� ��������\��\ ����� �������������
����������. ��������, ����������� ����������
$n!=1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot n$ ��� �������~$f(n)$, ���
������� $f(n)\hm=n\cdot f(n-1)$ ���~$n\hm>0$ � $f(0)\hm=1$,
�������� � \�� �����������\��, � \�� �����������\��. �� �����
��������� �������������� ��� ����� ���: ���� ���� �ģ� �
�������������� ����\� �� ������� ���~$n\hm=0$, ����� ���
$n\hm=1,2,\dots$, ���ޣ� ������ ����������� ��������� ��
����������, �� ��� \emph{��������}\index{��������}. ���� �� �� ���������� ���\� ��
������� ���~$n\hm=0$, ����� ��� $n\hm=1,2,\dots$, ���ޣ�
����������� ������� ������ �������� ���������� �����
������̣����, �� ��� \emph{��������}.

���� ����\� ��������� ��������� ����������� �������������� �
������ ����������� ����������� �� ������ ��� ����������� �����, ��
� ��� ������ ������ ������������� ��������.

�������������� �� �������� �� ��� ���������, ������ �
������������� ���������� (��.~������~\ref{well-founded-sets}),
� ������ ����������� ������ ����� ��������.

\begin{theorem}\label{monotone-mappings-wosets}
        %
����� $A$\� ������ ������������� ���������, � $f\colon A\hm\to A$\�
������������ ����������� (�� ���� $f(x)\hm<f(y)$ ���~$x\hm<y$).
����� $f(x)\hm\ge x$ ��� ����~$x\hm\in A$.
        %
\end{theorem}

\begin{proof}
        %
�������� �������� �������� (�������~\ref{well-founded-induction},
�.~\pageref{well-founded-induction})
���������� �������� ����������� $f(x)\hm\ge x$, �����������, ���
$f(y)\hm\ge y$ ��� ����~$y\hm<x$. ����� ��� �� ��� �~$f(x)\hm<x$. �����
�� ������������~$f(f(x))\hm<f(x)$. ��, � ������ �������, �������~$y\hm=f(x)$
������~$x$, � ������ �� ������������� �������� $f(y)\hm\ge y$, ��
����~$f(f(x))\hm\ge f(x)$.

���� ������, ����� � ����� ���� ��������������� ��������������
����������� �������� � �������� ��� �� ����������� ���. �����
����������� ������� �������. ����ͣ� ����������~$x$, ���
��������~$f(x)\hm<x$. �� ����� $f(f(x))\hm<f(x)$ �� ������������ �
������ $x$~�� �������� ���������� ������� �������������.

�������, ��� ����������� ����� ����������� � ���:
% ---------------------------- �������� 71 ----------------------------------
���� $x\hm>f(x)$,�� �� ������������
        $$
x > f(x) > f(f(x)) > f(f(f(x))) > \ldots,
        $$
�� ����������� ��������� ������������������� � �������������
��������� ���� �� �����.
        %
\end{proof}

������ �����ģ� � ��������. � ����������� ���������� $f(n)$~����������
�����~$f(n-1)$. � ����� �������� ��������~$f(n)$
����� ������������ �� ������ ���� ���������� �������� �������,
�� � ��� �������� �� ������� ����������. ��������, �����
���������� ������� $f\colon\bbN\hm\to\bbN$, ������, ���
$f(n)$~�� ������� ������ ����� ���� ���������� ��������, ��
���� $f(n)\hm=f(0)\hm+f(1)\hm+\ldots\hm+f(n-1)\hm+1$; ��� ������ ��������
����������� ����������� (���� ������ ��������, ��� ������
����� ��������� ������ ����, ��� ���~$f(0)\hm=1$).

\begin{problem}
        %
����� �������~$f$ ������ ����� �����������?
        %
\end{problem}

\problskip
��� �������� ��� ����� �� ������������ ������ �������������
��������� ������ ������������ ����? ����� $A$~������
�����������. �� ����� ���� ����������� �����������%
\index{����������� �����������} ���������
������� $f\colon A\hm\to B$ (���~$B$\� ��������� ���������). �����
����������� ������ ��������� ��������~$f(x)$ �� ���������
��������~$x\hm\in A$ �� ����������~$f(y)$ ��� ����~$y\hm<x$.
������� �������, ����������� ����������� ������~$f(x)$, �����������
��������� ����������� �������~$f$ �� ���������
�������~$[0,x)$. ��� ������ ������������:

\begin{theorem}\label{transfinite-recursion-theorem}
        %
����� $A$\� ������ ������������� ���������. ����� $B$\�
������������ ���������. ����� ������� ��������� �����������
�������, �� ���� �����������~$F$, ������� ������ � ������������
��������~$x\hm\in A$ � ������� $g\colon [0,x)\hm\to B$ ��������� �������
���������~$B$. ����� ���������� � ����������� ������� $f\colon A\hm\to B$,
��� �������
        %
        $$
f(x)= F(x,f|_{[0,x)})
        $$
��� ���� $x\hm\in A$. (����� $f|_{[0,x)}$\index{$f"|_{[0,x)}$} ����������
�����������\index{����������� �������}\index{�������!�����������}
�������~$f$ �� ��������� �������~$[0,x)$\� �� ����������� ���
�������� ������� �� ���������, ������� ��� ������~$x$.)
        %
\end{theorem}

% ---------------------------- �������� 72 ----------------------------------
\begin{proof}
        %
����������� ����� ���������� ���: ��������~$f$ �� �����������
�������� ���������� ����������, ��� ��� ���������� ��������
��� (�������~$f|_{[0,0)}$ �����). ����� � �� ���������
�������� �������� �������~$f$~���������� ����������, ��������� �� ����������
(������, ������������ ����������) �������~$f$ ��� ������, \���

�������, ��� ���� ��������� �������� ���������. ��� ��� ���
��������. ������� �� �������� ����� ����������� � ������������
��������~$a\hm\in A$:
        %
\quot{%
        %
���������� � ����������� �����������~$f$ �������~$[0,a]$ �
���������~$B$, ��� �������� ����������� ����������� (���������,
�����ģ���� � �������) ��������� ��� ����~$x\hm\in [0,a]$.
        }
\noindent
����� �������� ����������� $f\colon [0,a]\hm\to B$, ����������
��������� ���������, \emph{����������}. ����� �������,
�� ����� ��������, ��� ��� �������~$a\hm\in A$ ���� ������������
���������� ����������� �������~$[0,a]$ �~$B$.

��������� �� ���������� �� ��������, ����� ������������, ��� ���
���� $c<a$ ��� ����������� ���������, �� ���� ���������� �
����������� ���������� ����������� $f_c\colon [0,c]\hm\to B$.
(������������~$f_c$ ��������, ��� ��� ����~$d\hm\le c$ ��������~$f_�(d)$
��������� � ������������ �� ������������ �������.)

���������� ����������� $f_{c_1}$ � $f_{c_2}$ ��� ���� ���������
$c_1$ �~$c_2$. �����, ��������,~$c_1\hm<c_2$. �����������~$f_{c_2}$
���������� �� ������� �������~$[0,c_2]$. ���� ����������~$f_{c_2}$ ��
������� �������~$[0,c_1]$, �� ��� �����ģ� �~$f_{c_1}$,
��������� ����������� ����������� ����������� �� �������
������� ��������� (��� ��������), � �� ������������
�������������� �� �������~$[0,c_1]$.

����� �������, ��� �����������~$f_c$ ����������� ���� � ������,
�� ���� ��������� ���������� ��������, ���� ����������
������������. ��������� ��, �� �������� ��������� ������
�����������~$h$, ������̣���� ��~$[0,a)$. �������� �~$a$ �~$h$
����������� �������, ������� ��������� ��������~$b\hm\in B$.
�����������~$h$ � �����~$a$, �������~$h(a)\hm=b$.
��������� ����������� $h\colon [0,a]\hm\to B$; �����
% ---------------------------- �������� 73 ----------------------------------
������, ��� ��� ���������.

����� ��������� ����������� �������, ���� ���������, ��� �� �������~$[0,a]$
���������� ����������� �����������. � ����� ����, ���
����������� �� �������~$[0,c]$ ���~$c\hm<a$ ������ ��������� �~$f_c$,
������� �������� ��������� ������������� � �����~$a$\�
��� ������������� ����������� ������������ (���������� ��������
� �����~$a$ ����� ����������).
        %
�� ���� ����������� �������������� �������������.

�������� ���� ��������, ��� ��� ������~$a$ ����������
����������� ��������~$[0,a]$ ����������� ���� � ������ (�������
����������� ����������� �� ������� ������� ���������,
��������� ��������������) � ������ ������ ������ ���������
������� $f\colon A\hm\to B$, ��������������� ������������ �����������.

������������� ��������; �������������� ���� �������, ���
��� ����������� ���� ������� �� ����� �������~$[0,a]$
��������� � ������ ���������� ����������, ��� �� ������.
        %
\end{proof}

������ ��� ��������� ��� ������� � ��������, ��� �� ����
������ ������������� �������� ���� �������� �������� �������,
��� ����������� ţ ������� �����������������.
��� ���� ������������� ��������, ����� ����������� �������
�� ����� ����������. �����, ��������, �� ���������� ������������������
�������������� ����� ������������~$x_{n}\hm=\tg x_{n-1}$ � ���������
��������~$x_0\hm=a$. ��� ��������� ���������~$a$ ����� ���������, ��� ����������
������������������ ����������, ��������� ������� �� ������̣�
��� ���������������� ���������.

\begin{problem}
        %
��������, ��� ��������� ���� ����� \�� ��������������\��~$a$
(����� ������������������ �������) �ޣ���.
        %
\end{problem}

\problskip
����������� �������� �������� � ��� ������ ������.

\begin{theorem}\label{partial-transfinite-recursion}
        %
����� ����������� $F$, � ������� ��� ���� �
�������~\ref{transfinite-recursion-theorem}, �������� ���������
(��� ���������~$x$ � ������� $g\colon [0,x)\hm\to B$ ��� ����� ���� ��
����������). ����� ���������� �������~$f$, �������
        %
\begin{itemize}
        %
\item
���� ���������� �� �ӣ�~$A$ � ����������� � �����������
������������;
        %
% ---------------------------- �������� 74 ----------------------------------
\item
���� ���������� �� ��������� ��������� �������~$[0,a)$ �
�� Σ� ����������� � ����������� ������������, ���ޣ�
��� �����~$a$ � �������~$f$ ����������� ������� �����������
(�����������~$F$ �� ����������).
        %
\end{itemize}
        %
\end{theorem}

\begin{proof}
        %
��� ����������� �������� ����������, �� ������������ �
���������� ���������� �������~\ref{transfinite-recursion-theorem}. �
����� ����, ������� � ���������~$B$ ����������� �������~$\bot$
(\�� ��������̣������\��) � ������������ ����������� �������:
����� ������� ���� ��������~$\bot$, ����� ������ ���� ��
����������. (���� ����� �������� ������� �� ����������
���������� ��� �����������~$\bot$, ����� ����������� ������� ����
����~$\bot$.)

�������� �������~\ref{transfinite-recursion-theorem} �
����������������� �������, ������� ��������� �������~$f'$. ����
��� ������� ����� �� ��������� ��������~$\bot$, �� �����������
������ �� ���� ������������, ��������� � �������
(���~$f\hm=f'$). ���� �� �������~$f'$ ��������� ��������~$\bot$
� �����\� �� �����, �� ��� ����� �� �� ��������~$\bot$ � �� ����
������� ������. ������� ��������~$\bot$ �� ��������̣������, ��
�������� �� �������~$f'$ �������~$f$. ������� �����������
�������~$f$ ���� ��������� ��������� �������~$[0,a)$ �
����������� ������ �����������, ��������� � ������������
�������.
        %
\end{proof}

\begin{problem}
        %
������������� � �������� ����������� �� �������������
�������, �������� ��������� ����������� ��������.
        %
\end{problem}

������ � ��� �ӣ ������ ��� �������������� ������� �
��������� ������ ������������� ��������.
     \index{������ ������������� ���������!���������}%

\begin{theorem}\label{comparing-ordinals}
        %
����� $A$ � $B$\� ��� ������ ������������� ���������. ����� ����
$A$~��������� ���������� ���������� ������� ���������~$B$, ����
$B$~��������� ���������� ���������� ������� ���������~$A$.
        %
\end{theorem}

\begin{proof}
        %
������� ������ �����, ��� ��������� ������� ����� ��������� ��
���� ����������, ��� ��� ������ ���������� ��������~$A$ �~$B$
����� ����������� ���� ��������.

��������� �����������~$f$ ��~$A$ �~$B$ ����� �����������
��������: ��� ������~$a\hm\in A$
        %
\quot{%
        %
$f(a)$~���� ���������� ������� ���������~$B$,
% ---------------------------- �������� 75 ----------------------------------
������� �� �����������
�����~$f(a')$ ���~$a'\hm<a$.
        }

��� ������� �� ���������� � ��� ������, ����� ��������~$f(a')$
���~$a'\hm<a$ ��������� �ӣ~$B$. ��������
�������~\ref{partial-transfinite-recursion}, �� �������� �������~$f$,
������������� � ���� ��������. ������ ���������� ��� ������:

\begin{itemize}
        %
\item
�������~$f$ ���������� �� �ӣ�~$A$.
�������, ��� ����������� ����������� ����������� ������������,
��������� $f(a)$~������������ ��� ����������� �ݣ �� ��������������
�������; ��� ������~$a$, ��� ������ ��������
���������������� ���������
� ��\-��\-�� ����������� �������
����� ������ �������� (�� ����������� �������
�����, ��� ���������� �������� ���� �� �����).
�������� ���� ���������, ��� ��������� �������� �������~$f$, ��
����~$f(A)$, ����� ��������� ��������. � ����� ����, �����~$b\hm<f(a)$
��� ����������~$a\hm\in A$; ���� ���������, ��� $b$~�����
�������� ��������� �������~$f$. �������������, ��������
������������ ����������� $f(a)$~�������� ���������� ����������������
���������, �������������, $b$~��� ������������, �� ���� �����������
�����~$f(a')$ ���~$a'\hm<a$.
        %
\item
�������~$f$ ���������� ���� �� ���������
��������� �������~$[0,a)$. � ���� ������ ���� ��������� �������
���������~$B$, � �������~$f$ �������� ������� ������������.
� ����� ����, ��� $f(a)$~�� ����������, �� ����� ��������
�������~$f$ ����������� ��� �������� ���������~$B$.
� ������ �������, $f$~��������� ������� � ���� ������������
�����������.
        %
\end{itemize}
        %
����� �������, � ����� ������� �����������
������� �����.
        %
\end{proof}

����� �� ���� ���, ��� $A$~��������� ���������� �������~$B$, �
$B$~��������� ���������� ������� $A$? ���\�
% ---------------------------- �������� 76 ----------------------------------
�� �����������
������������ ������, ����� ��������� ������� ������������ �����
���� ���������~$A$ �~$B$. ��� �������� �� ������ �����������:
        %
\begin{theorem}\label{nontrivial-initial-segment}
        %
������� ������ ������������� ��������� �� ��������� ������
���������� �������\index{��������� �������} (�� ������������
�� ���� ����������).
        %
\end{theorem}
        %
\begin{proof}
        %
����� ������ ������������� ���������~$A$ ��������� ������
���������� �������, �� ������������ �� ���� ����������. ��� ��
������ �� �.~\pageref{initial-segment-structure},
���� ������� ����� ���~$[0,a)$ ��� ����������
��������~$a\hm\in A$. ����� $f\colon A\hm\to[0,a)$\� ����������. �����
$f$~������ ����������, � �� �������~\ref{monotone-mappings-wosets}
����� ����� �����������~$f(a)\ge a$, ��� ������������ ����, ���
��������� �������� �������~$f$ ����~$[0,a)$.
        %
\end{proof}

���� ���������~$A$~��������� ���������� �������
���������~$B$, � ���������~$B$~��������� ���������� �������
���������~$A$, �� ���������� ���� ������������ ���� ����������
����� ����������~$A$ � ��� ��������� �������� (��������� �������
���������� ������� ���� ��������� �������). ���� ���������
������� ������ ��������� �� ���� ����������~$A$, ��� ��� ���
�������� ���� ���� $A$ �~$B$ ���������.

��������� ��������� ����������
������ ������������� ���������.
���� $A$~��������� ���������� ������� ���������~$B$, ��
������������ �� ����~$B$, �� �������, ��� \emph{���������� ���
���������~$A$ ������ ����������� ���� ���������~$B$}.
����
��������� $A$ � $B$~���������, �� �������, ��� � ���
\emph{���������� ���������� ����}. �������, ���� $B$~���������
���������� ������� ���������~$A$, �� �������, ��� \emph{����������
��� ���������~$A$ ������ ����������� ���� ���������~$B$}.
��� �� ������ ��� ��������, ����� ����� �����������:
        %
\begin{theorem}\label{ordinals-trichotomy}
        %
��� ����� ������ ������������� �������� $A$ �~$B$
����� ����� ����� ���� �� ��������� �ң� �������.
        %
\end{theorem}

���� �������� ������ � ��������� ��������� ������ �������� �
���������� ���������� ���\index{���������� ���} �������������� ��������� ��� �����
���������� ��� �������������
% ---------------------------- �������� 77 ----------------------------------
��������, �� ����� �������, ��� ��
���������� �������� ������� �� ���������� ����� ������
������������� �������� (�� \emph{���������}\index{��������}, ��� �������).
���� ������� ����� ������. �� ��������������� ��� ����������� ���,
����� �������� ���������� �������.
        %
\begin{theorem}\label{complete-order-on-ordinals}
        %
������ �������� ��������� ������ ������������� ��������
����� \�� ���������� �������\��\� ���������, ����������
��������� �������� ���� ��������� ��������.
        %
\end{theorem}

\begin{proof}
        %
����ͣ� �����\� �� ���������~$X$ ���������. ���� ��� ����������, ��
�ӣ ��������. ���� ���, ���������� ��� ��������� ���������,
������� ������ ���, �� ���� ��������� ��� ��������� ��������
����~$[0,x)$. ����� ���� ����� ���������~$x$ ������� ����������.
����� ��������������� ��� ��������� � ����� ����������.
        %
\end{proof}

���������� ���������� ������ �������� ��, ��� ����� ��� ������
������������� ��������� �������� �� �������� (���� ����������
������������ �������). ������ �� ������, ��� ������ ���������
����� ���� ������ ����������� (�������~�������), �, �������������,
����� ��� ��������� �������� �� ��������.

\section{������� �������}\index{�������!�������}
        \label{zermelo}

\begin{theorem}[�������]\glossary{�������@\�������}
        \label{theorem-zermelo}
������ ��������� ����� ���� ������ �����������.
        %
\end{theorem}

\begin{proof}
        %
�������������� ���� ������� ����������� ���������� �������
������\index{�������!������} � �������� ������� ���������
����� �������������������.
�� �ޣ���� ���������� ������ ������� ������� �����
(�������� �~$\bbN$). �� ��� �� ��������� ��������������
����� �������� ����������� ������� ������� ������� �� �������, �
������� (� ������� ������� ������) ��� �������������, �� ��� �
�� ����� ���� ���� ������� �����������.

��������, � ����� ����� ������������ �������
������. ����� $A$\� ������ ��� ���������. �� ���������, ���
���������� �������~$\varphi$, ������̣���� �� ���� �������������
���������~$A$, ����� �����\'�~$A$, ������� ���������
% ---------------------------- �������� 78 ----------------------------------
���� �� ��������� ��� ����� ������������:
        $$
X\subsetneq A \Rightarrow \varphi(X)\in A\setminus X.
        $$

����� ����, ��� ����� ������� �����������, ����� ���������
������ ������� ��~$A$, � � ���� ���������� ��� ��� �������
���������������. ��� ��� ��� ��������.

���������� ��������� ���������~$A$ �� �������
�������~$a_0\hm=\varphi(\varnothing)$. �� ��� �ģ�
�������~$a_1\hm=\varphi(\{a_0\})$; �� ���������� �� ���������� ��~$a_0$.
����� �������
�������~$a_2\hm=\varphi(\{a_0,a_1\})$. ����
���������~$A$ ����������, �� ����� ������� ����� ���������� �
�������� ������������������ $\{a_0,a_1,\dots\}$ ���������
���������~$A$. ���� ����� ����� �������� �ݣ �� ��������������
�������� ���������~$A$, ���������� �������
$a_\omega\hm=\varphi(\{a_0,a_1,a_2\dots\})$ � ��� ����� ����������,
���� �ӣ~$A$ �� ��������; ����� ��� ��������, ������� ������
��������� � ����� ������ �������� ��~$A$.

�������, ��������� ����� ��������� � ���������\� ��� ������ \��
��� ����� ����������\��? ��������� ������� ��������� ������� �
������������� �������� (� ��� ����� ������� ��������: ���������
������� ������������ ����������, ���� �������� ��� ����������).
� ��� ����� �������, ���� � ��� ���� ������ ������ �������������
���������~$B$, � �������� ������� ����������� ������������
���� �����~$A$ � ������~$B$, ���� �����~$B$ � ������~$A$. �
������ ������ �ӣ ������, �� ��� ����� ���� ����� ������
������������� ���������~$B$ �� ������� ���� ��� �� ��������, ���
�~$A$, ��� ��� ���������� ����� �������� ����.

��� �� ����� �� ���� ����� �����. �� ������� ��� ���:
���������� ��� ������������� ������� �������� ������� �
��������, ��� �� ����� �������.

����� $(S,\le_S)$\� ��������� ������������ ���������~$A$
� �������� �� Σ� �������. ����� ��������, ���
$(S,\le_S)$~�������� \emph{���������� ����������}, ���� ��� ��������
������ ������������� ����������, ���ޣ�
        $$
s = \varphi ([0,s))
        $$
% ---------------------------- �������� 79 ----------------------------------
��� ������~$s\hm\in S$. ����� $[0,s)$\� ��������� �������
���������~$S$, ��������� �� ���� ���������, �������~$s$
� ����� ������ ��������� ��~$S$ �������.

��������, ��������� $\{\varphi(\varnothing)\}$ ��������
���������� ���������� (������� ����� ����� �� ���������, ��� ���
������� ����� ����). ��������� $\{\varphi(\varnothing),
\varphi(\{\varphi(\varnothing)\})\}$ (������ �� ����������
��������� ��������� ������� �������) ����� �������� ����������
����������. ��� ���������� ����� ���������� � ������, �� ���
���� �����\� �� ������� \�� �����������\��\ ����� ����������� (�
����� ������� � ������ ��������) ����� ����� ���� �����������.

���� �����: �� �������, ��� ����� ��� ���������� ���������
� ������̣���� ������ �����������, ����� ����
����������� ����������� ���� ���������� ����������. ���
����� ���������� � ����� ��������� �� ���� ����������~$A$
(� ��������� ������ ��� ����� ���� �� ��������� � ��������
���������� ��������, �� �������� � �����������).

\textsf{����� 1.} ����� $(S,\le_S)$ � $(T,\le_T)$\� ��� ����������
���������. ����� ���� �� ��� �������� ��������� ��������
�������, ���ޣ� ������� ����������� (��� ����� ��������
�ӣ ����� ��� ����������\� � ������~$\le_S$ ��� � ������~$\le_T$).

�������, ��� �� �������~\ref{comparing-ordinals} ���� ��
���������� \textsl{���������} ���������� ������� �������. �����
$S$~��������� ���������� �������~$T$ � $h\colon S\hm\to T$\�
�� ����������. ����� ����������, ��� ����������~$h$
�������� �������������, �� ���� ��� $h(x)\hm=x$ ��� ����~$x\hm\in
S$. ������� ��� ��������� ��~$x\hm\in S$ (��� �������, ��� ��� $S$~������
����������� �� ����������� ����������� ���������).
����������� ������������� �����������, ���~$h(y)\hm=y$ ��� ����~$y\hm<x$.
�� ����� ��������, ���~$h(x)\hm=x$. ���������� ���������
������� $[0,x)_{S}$ �~$[0,h(x))_{T}$ (� ����� ������ ��������~$\le_S$
�~$\le_T$ ��������������).
��� ������������� ���� �����
��� �����������~$h$, ������� �� ������������� �������� ���������
��� ���������. �� �� ����������� ������������
$x\hm=\varphi([0,x))$
� $h(x)\hm=\varphi([0,h(x)))$, ��� ���~$x\hm=h(x)$. �����~1 ��������.

���������� ����������� ���� ���������� ���������� (���
��������). �� ���� ����������� ����������� ������̣� ��������
�������: ��� ������ ���� ��������� ���ģ��� ��������, ��������
��� ��� ����������� (������ ����������� ������, ����ͣ� �������
�� ����������), ��� ��� �� ����� ��������. �� �����~1 ������� ��
������� �� ����, ����� �������� ����� ������ ��� ���������.

\textsf{�����~2}. ��� ����������� ����� ���������� ����������.

����� �������� �����~2, �������, ��� �� ���� �����������
������̣� �������� �������. ��
����� ������. ��� ������������ �������� ��� � ��������
��������� �������������������. ����� $x_0\hm\ge x_1\hm\ge
\ldots$; ����ͣ� ���������� ��������~$F$, ��������
�����������~$x_0$. �� �����~1 �������, ��� ���~$x_i$ �����
����������� ����� ��������� (��������� ��������~$F$ �����
��������� �������� � ����� ������� ���������),
� $F$~������ ���������� ��
�����������, ��� ��� ������������������ ���������������. �����~2
��������.

����������� �����~2 ����� ����������������� ����� �������:
���������� ����������
���������� ��������. �������� ��������, ��� ���� ��������
(��������� ���~$S$) �������� � ���� �ӣ ���������~$A$.
����~$S\hm\ne A$, ����ͣ� �������~$a\hm=\varphi(S)$, �� �������������~$S$,
� ������� ��� �~$S$, ������, ��� �� ������ ����
���������~$S$. ���������� ������������� ���������~$S'$
(�����~$S$ � ��������������� ���������) �����, ��������,
������ �����������. ����� ����, ������� ������������
����� ��������� (���~$a$\� �� ����������, ��� ���������
���������\� ��������� ��� ���� ��������� �~$S$).
����� �������, �� ��������� ������� ���������� ��������,
��� ������������ ��������������~$S$. ��� �����������
��������� �������������� �������~�������.
        %
\end{proof}

��� �� ��� ��������, �� �������~������� �
�������~\ref{comparing-ordinals} � ��������� ������
������������� ��������
% ---------------------------- �������� 81 ----------------------------------
���������� �������� ����� �����������:

\begin{theorem}
        \label{zermelo-cardinals-comparing}
�� ����� ���� �������� ���� ���������� ������������ �������.
        %
\end{theorem}

\begin{historyremark}
        %
������� ������ �������������� ���������\index{������ �������������
���������}\index{���������!������ �������������} �ף�
������\glossary{������@\������}
� ������ 1883~����; � ��� �������� ������ 1895\�1897~����� ����������
�������������� ����, ��� ����� ��� ������ �������������
��������� �������� (���� ��������� ���������� ������� �������).

����������� � ����������� ������� ������������ ������ ���������
� � ��������� ��������� (�������~\ref{theorem-zermelo}
�~\ref{zermelo-cardinals-comparing}) ������������ ����������� �
������� �������, �� �������� �������� �������������� �� ��
���������, � ��� ���� ���� ���� �~1904 ���� �������� �����������
�.\,�������\glossary{�������@\�������}.
        %
\end{historyremark}

\section{������������� �������� � �����~������}
     \index{������������� �������� (��������)}%
     \index{����� ������}%
     \label{hamel-base}%
     \glossary{������@\������}%

������ ������������� ��������� � �������~������� ���������
���������� ����������� ���������� � ������������� ������� (����
���������� ������������). ������� ��� �� ������� �� ��������
�������.

������ ������� ����������� ��������� �������� � �������������
������������ ����� ���� ��������� �� ������. ��� ���
������������? ����� $S$\� ������ ��� ������� �����������
���������. ���� ��� �� �������� �������, �� ���������
������~$x_0$ ����� ���� �� ����������. ������� ��� �~$S$,
������� ������� ����������� ��������� $S\cup\{x_0\}$. ���� � ���
�� �������� �������, �� ��������� ������ $x_1$ ����� ���� ��
����������, \��� ���� �� �����\� �� ���� �� ������� �����, ����
������� �� ����ף��� � �� ������� ����������� ������������������
������� ����������� ��������, ��� ������������ ���������������.

������ � ������� ������������� �������� (������, ��������) ��
��������� �� ���������� ���������������.

����� ���� ������������ ��������� ������������.
��\-��\-���, ��� ��������� (��������, �����������) ��������
\emph{������� ����������}\index{������� ����������� ���������}%
\index{���������!������� �����������}, ���� ������� �������������
% ---------------------------- �������� 82 ----------------------------------
�������� ���������� ��������� ����� �������� �� ����� ��������� �� �����
����. (������� � �������, ��� �������� � ����������� ��������
����������� � �������� ����� ���� ���� � ������������ ����������
����������, ���� �� ������ �� ������������.) ������� �����������
��������� �������� ���������� \emph{�������~������}\index{����� ������}%
\glossary{������@\������} (��� ������
\emph{�������}) ������� ������������, ���� ����� ������ ����������
� ���� �������� �������� ���������� ��������� ����� ���������.

��� � � �������� ��������, ������������ ������� �����������
��������� (������� ���������� ������� ��������� ��� ����������
������ ������ ��������) ��������, ��������, �������.

\begin{theorem}
        \label{hamel-base-existence}
������ ������� ����������� ��������� ��������
����� ���� ��������� �� ������~������.
        %
\end{theorem}

\begin{proof}
        %
����� $S$\� ������� ����������� ������������ ����������
������������~$V$. ���������� ������ ������������� ���������~$I$
���������� ������� �������� (�������, ��� ��������
������������~$V$). ��������� �������~$f$ ��~$I$ �~$V$ � �������
������������� ��������:
        %
\quot{%
        %
$f(i)={}$������� ������������~$V$, �� ������������ ������� �����
          ��������~$S$ � ��������~$f(j)$ ���~$j\hm<i$.
        }
\noindent
�������, ��� ��� ����������� ������� ���������~$f(i)$
��������̣����, ���� ������ ������������ �������� �� ����������.
(����� ����, ����� ��������, ��� �� ����� ���������� �������
������. ����� �������� ��������� �� ������� ���: �� �������
������ ���������� ��������� �������, ������� �� �������
������������ ������������~$V$, ����� ������� �� �ӣ~$V$
����������, ��������� ���� �� ����������� ���������. ����� ���
������� ������������ � ����������� �����������. �������, �������
������ � ��� ��� ������������ ��� �������������� �������~�������.)

��� ����������� �����������, ��� $f$~��������
���������; ����� ���� ����� ����������, ��� ��� ��������~$f$
������ � ����������~$S$
�������� ������� ����������� ���������. � ����� ����, �����
�������� ���������� ��������� �������� �������~$f$ � ��������� ���������~$S$
����� ����.
����� �������, ��� ��� ������������ � ���� ���������� ������� ��
���� (�������� ������� ���������). �������� � ���������� �������� �������~$f$
����� ���~$f(i)$ ��� ���������~$i$. ��������� �� ��� �� ���,
������� ����� ����������~$i$; �� ���������� �� ������ ����
������� ��������� �� ���������\� ������������.

��������� �� ������������, ��� ���������~$I$ ����� �������
��������, ���~$V$, ����������� �����������
������ ������� �� �� �ӣ�~$I$, � ������ �� ��������� ���������
�������~$[0,i)$, � � �����~$i$ ����������� ������� �� ����������
(�������~\ref{partial-transfinite-recursion}). ��� ��������, ���
��� ������� ������������~$V$ ���������� ����� �������� ���������~$S$
� ��������
�������~$f$ �� ����������~$[0,i)$. ����� ����, ��� �� ������, ��� ���
������� ����������. ����� �������, ������� ����� ������.
        %
\end{proof}

�� ����� ���� ����� �������� ��� ��������� ������� ��������,
���������� ���� ������������~$V$. ��� ���� �� ������ ����
�������� ���� ���� ��������� ��������� ������� � ��������
������ (���� �� �� ���������� ����� ����������), ���� ���������
����� ��� ���������.

\begin{problem}
        \label{hamel-alternative}
��������� ��� ����������� ��������.
        %
\end{problem}

\problskip
�����~������ ����� ���� ����������� ��� ���������� ������
������������ ��������. ��� ��������� �� ���:

\begin{theorem}\label{pathologic-linear}
        %
���������� (����� ������̣����) ������� $f\colon \bbR\hm\to\bbR$, ��� �������
$f(x+y)\hm=f(x)\hm+f(y)$ ��� ����~$x$ �~$y$, �� ������� �� ����
��������� �� ���������.
        %
\end{theorem}

\begin{proof}
        %
����������~$\bbR$ ��� ��������� ������������ ��� �����~$\bbQ$.
� Σ� ���� �����~������. ����� $\alpha$\� ����
�� �������� ������. ���������� �������~$f$, ������� �
������ ������~$x$ (��������������� ��� ������ � ������������~$\bbR$
��� �����~$\bbQ$) ������������ ���
$\alpha$\� ���������� (����������� ���~$\alpha$ � ������������
���������~$x$ ����� ������� ������). ��� ������� �������
���~$\bbQ$, ������� $f(x+y)\hm=f(x)\hm+f(y)$ ��� ����~$x,y\hm\in\bbR$.
��� �������
% ---------------------------- �������� 84 ----------------------------------
�� ���� ($f(\alpha)\hm=1$) �
��������� ���� ������������ ��������, ������� �� ����� ����
���������� �� ���������.
        %
\end{proof}

\begin{problem}
        %
��������, ��� ������ �������, ���������� ���������� �
�������~\ref{pathologic-linear} ����������, �� ���������� �� ��
����� ������� �, ����� ����, ţ ������ ����� ������ �~$\mathbb{R}^2$.
        %
\end{problem}

\problskip
\begin{theorem}
        \label{r-plus-r}%
���������� ������~$\bbR$ �~$\bbR\hm\oplus\bbR$
��������� ���� �����.
        %
\end{theorem}

\begin{proof}
        %
����������~$\bbR$ ��� ��������� ������������ ���~$\bbQ$ �
������� ����� � ���� ������������. ��������, �� ����������.
����� �~$\bbR\hm\oplus\bbR$ ����� ����
��������� �� ���� ������, ������ �� ������� ������������ �����
����� � ����� �� �����������~$\bbR$.
��� �� ������ ���� �����
(��.~������~\ref{cardinal-operations-revisited}), ��� ������
������������ ���������~$B$ ��������� ��������~$B$ (��������
����������� ���� ���������������� ��������, �����������~$B$)
����� ��������~$B$.
�������, �������� ��������,
��� ������������ ��� ����� � ��� ��
����� � ������������ �������� ��������� ��� ��������� ������������ �
��� ����� ��� ������.
        %
\end{proof}

\begin{problem}
        %
��������, ��� ����� ����� � ������������~$\mathbb{R}$ ���
�����~$\mathbb{Q}$ ����� �������� ����������. (��� ��������������
���������� ���������� �������~\ref{cardinal-operations-revisited}.)
        %
\end{problem}

\problskip
�� ������, ��� ������������� �������� ��������� ��������
������������� ������ � ����� ��������� ������������. ���������
��� �����, ����� ��������, ��� ����� ��� ������ ����������
������������ ����������. (����� �������, ������� ����������� ���
�������� ������ ��������� ���������� � ��� ����������������
��������� �����������.) �� ���Σ��� � ����� �����, ��
�.~\pageref{dimension-correctness}
(�������~\ref{dimension-correctness}).

�������, ��� ������������� ������~������ ����� ������������ �
\�� � ������ �����\��, � �� ������ ��� ���������� ������������
��������. ��������� \�� ������ ��������~���������\index{������
�������� ���������}\glossary{��������@\��������}\��\ �������� �
�������������� ����, ��� ������������� ������� ��ߣ�� ����� ��
���� ���������������\index{����������������� �������������}. (��� ������,
��� ���� �� ��� ������
��������� �� ������� ������������� � ������� �� ��� ������
% ---------------------------- �������� 85 ----------------------------------
������������.) ��� ��������������� �� ��������� �������� ����:
���� ��� �������������� ����������� (����� ������ �������),
�� ��� ���������������.

\begin{theorem}
        %
��� ������ ��������� �� �����, �� ������� ����� ���� �� ���������
���������� �������� (���������� �� ��ߣ�� ����������).
        %
\end{theorem}

\begin{proof}
        %
���ģ� ������� \emph{��������ߣ��}\index{��������ߣ�} �������������. ���
� ��ߣ�, ��������ߣ� ����� ��������� (���� ������������ ������
�� �����, ����� �� ��������ߣ��� ����� ��������ߣ�� ���������
�������������); ��������ߣ�� ������ �������������� ����� �����.
������ �������, ��� ��������ߣ�� �����������������
�������������� ����� �����. �� �����ң� ��������ߣ� ���,
����� � ���� �� �������� ����, � � ��������� ���\� �
�������������� ����� ���������.

��������ߣ� ������������� �� ��������� ��� ����� $\sum l_i
\varphi(\alpha_i)$, ��� ����� ��ң��� �� ���� ң���� �������������,
$l_i$\� ����� $i$\� �� �����, $\alpha_i$\� ���������� ���� ���
���� �����, � $\varphi$\� ��������� �������. ����� �����������
������������� �����������, ��� ������ ������������� ����� ������
��������ߣ��. ��� ����� �� �������~$\varphi$, ����� ��������ߣ� ���
���������? ���������� ����, ��� ������������ �����������
���������� �� ��� �����, � ��������� �������� ����� ���
��������� ����� �����~$l$. ����� ���������� ����~$\alpha$ ��� ���� �����
����������� �� ��� �����~$\beta$
�~$\gamma$. ������� � ��������� ��� ��������ߣ�� ������
���������� $l\varphi(\alpha)$ ����������
���������~$l\varphi(\beta)\hm+l\varphi(\gamma)$, � $\varphi(\alpha)$~������
���������~$\varphi(\beta)+\varphi(\gamma)$.
����� ����, ����������� ��������� ����� ���������� ����� �����,
����������� � �����\� �� ������. ��������� ����� ����� �����
��~$l'$. ����� � ��������ߣ�� �������� ���������
$l'\varphi(\alpha)\hm+l'\varphi(\pi\hm-\alpha)$ (���
�������������� ���������� ���� �������������), ������� � ����� ������
��������� ����.

������ ����, ������ ���������� ������ �������� �������~$\varphi$.
�����, ����� $\varphi(\beta\hm+\gamma)\hm=\varphi(\beta)\hm+\varphi(\gamma)$ �
�����~$\varphi(\pi)\hm=0$. ����� ��������ߣ� ����� � ������ ���������.
���������� �������� ������� ������� ����������� �������
������������� (��� �� ��� � ������), � �� ţ ��������� �� �����. ��������
% ---------------------------- �������� 86 ----------------------------------
������������
������� ���������, �������� ���� ������, ��� ��� ������� �����
��������� ����������� (��� ���� ����� ���������� ����� ������
�����, �� ��� �� �������).

����, ��� ���������� ����������� ���������� ��������� �������
$\varphi\colon\bbR\hm\to\bbR$, ��� �������
        %
\begin{itemize}
        %
\item
$\varphi(\beta\hm+\gamma)\hm=\varphi(\beta)\hm+\varphi(\gamma)$ ��� ����
       $\beta,\gamma\hm\in\bbR$;
        %
\item
$\varphi(\pi)\hm=0$ (��� �������� ������ � ���������� �����������
������������ ��������ߣ��);
        %
\item
$\varphi(\pi/2)\hm=0$ (��������ߣ� ���� ����� ����; ��� ��������,
�������, ����� ������� �� ���� ����������);
        %
\item
$\varphi(\theta)\hm\ne 0$, ��� $\theta$\� ���������� ���� ���
����� ����������� ���������.
        %
\end{itemize}

����������� ����� ��, ��� ���������~$\theta/\pi$ �������������.
�������� ���. ������ ���� �������� ������, ��������� �� �����
�����, �������� �������������� ����������� �� ���������
$\sqrt{3}$, $\sqrt{3}$, $2$; ���� ��������, ��� ���� �����
������������ ������������ �~$\pi$. ������� ����������� ��~$\theta$,
� ������ ���� ������������
(��� ������ ���� ������������
�����); ���������
���~$\beta$. ��� ���� �������������� ������������ �� ���������
$1$, $\sqrt{2}$ �~$\sqrt{3}$, ��� ��� $(\cos \beta \hm+
i\sin\beta)=(1\hm+\sqrt{-2})/\sqrt{3}$. ���� �� ����~$\theta$ ���
��������� �~$\pi$, �� � $\beta$~��� �� ���������, �������
��������� ������� ����� ������������ ����� ��������� �� �������.
����� ���������, ������, ��� ��� �� ���, ��������� ������
����� ����~$m\hm+n\sqrt{-2}$ ($m,n\hm\in \bbZ$) ��������� �
���������� �� ��������� � Σ� ����������.

���������� ������: ���������� �����~$\pi$ �~$\theta$. ���
���������� ��� �������� ���������� ������������~$\bbR$ ���~$\bbQ$,
�������� �� �� ������ � ���������� $\bbQ$\� ��������
���������� $\varphi\colon\bbR\hm\to\bbQ$, ������ ������������ ���~$\theta$
� ���������� �� ����� ������. ��������, ��� ����������
��� ���� ����� ���������.
        %
\end{proof}

\begin{problem}
        %
��������, ��� ��������� ���������� ����� ����������� ���������
�������� ��� ������~������: ���������� ����������~$\varphi$
% ---------------------------- �������� 87 ----------------------------------
�� �� ���� �������������� ������, � ������ �� ��������
����������� �����, ������������� ��� ���������� ���� �
��������� �� �����.
        %
\end{problem}

\section{�����~����� � ţ ����������}\index{����� �����}
        \label{zorn-applications}%
        \glossary{����@\����}%

� ����������� ��������� ����� ����������� ������������� ��������
��� �������: ��� ���������� ������� �� ��� ���������� �����~�����.
������ �� �������, ��� ��� ��������, �� ������� ������� �
������������� ������ � �������� ������������.

\begin{theorem}[����� �����]\glossary{����@\����}
        \label{zorn-lemma}%
        \index{����� �����}%
����� $Z$\� �������� ������������� ���������, �
������� ������ ���� ����� ������� �������. ����� � ����
��������� ���� ������������ �������, �, ����� ����, ��� ������
��������~$a\hm\in Z$ ���������� �������~$b\hm\ge a$, ����������
������������ �~$Z$. (\emph{����}\index{����}\� ��� ������������,
����� ��� ��������
�������� ��������. ������� ������� ����\� �������, ������� ���
������ ������ �������� ����.)
        %
\end{theorem}

\begin{proof}
        %
������ ����� �������, ��� $Z$~���� �������� �����������, �������
���� ��������� ������������ � ���������� ��������. �� ���� ��
������� �� ��������� ����������� ������������� ������������
����������� \�� ������� ��� ������ ������ (������?)\��, ���������
������� \�� �� ������ ������\��\ (����������� ����� ��
���������) �������� �� �������� �����.

�������������� ��������� ����������� ��� ���������� ������,
�� � ����� ����� �������� (������ � ��� �� ������� �����������
���������, � ������������ ��������~$Z$).

����� ��� ������������ �������~$a$. �����������, ��� �� ����������
������������� ��������, �������� ��� �������~$a$. ��� ������,
��� ��� ������~$b\hm\ge a$ ���ģ���~$c\hm>b$. ����� $c\hm>a$ � ������
���ģ���~$d\hm>c$~\��� ��������� ���� ������� ���������� �����, �� ���������
��� ��������~$Z$ � ���ģ� � ������������.

�����ģ� ����������� ��������� (���� ��� �� ���� �� ������������
������� �����, ���������� �����).
����ͣ� ������ ������������� ���������~$I$ ����������
% ---------------------------- �������� 88 ----------------------------------
������� �������� (�������, ��� ��������~$Z$).
�������� ������ ������������ ������� $f\colon I\hm\to Z$ ��
������������� ��������. � �������� �� ����������� ��������~$I$
����� �����~$a$. �����������, ��� �� ��� ����� ��� ţ ��������
�� ���� ���������, ������� ����������~$i$. � ���� ������������
��� �������� ������� ��������. ������� ���������� �� �������
�������~$s$, �������, � ���������, ������ ��� �����~$a$. ����ͣ�
�����\� �� �������~$t\hm>s$ � �������~$f(i)\hm=t$; �� ����������
������������ ����������. ��� ����� $I$~���������� �����~$Z$, ���
������������ ��� ������.

� ���� �����������, ��������� ������, ���� ������: ��
������������ ���������� ������� �� ������������� �������� �
���������� ţ ������������ � ������� ������������� ��������.
���� ����������� ����������� ����� �����, ���� ���� ���
����������� ����� ������� ���������. ��������� ������, ����
��������������� ��������~\ref{partial-transfinite-recursion},
������, ��� ��������� �������� �� ����������, ���� ���
����������� ������� �� ���������, � �������� �������,
������̣���� �� �ӣ�~$I$ ��� �� ��������� �������. ���� ���
���������� �� ��������� ��������� �������, �� ��� ��������� ��
Σ� �� ����������, ������� ��������� �������� ���� ����������\�
������������.
        %
\end{proof}

��� � ��� ���������� ������~������\index{����� ������}
(������~\ref{hamel-alternative},
�.~\pageref{hamel-alternative}), ����� �������� ��� ��������� �������
��������. ������ ���������� ���������~$Z$ � ������� �������~�������.
���� ������� ����� �� ������ � �������� �������� ��~$Z$; �� ����� ����������
��� ��������~$\prec$. �������� � ������� ������������� ��������
������� $f\colon Z \hm\to Z$ � ������ ����������:
        %
(1)~$f(z) \hm\ge a$ ��� ������~$z\hm\in Z$;
        %
(2)~$f$~��������� � ��������� ������: ���� $x\hm\prec y$, ��
$f(x)\hm\le f(y)$;
        %
(3)~$f(z)$ �� ����� ���� ������ ������~$z$ (� ������ ��������� �������~$\le$)
�� ��� �����~$z$.

�������� ��� ���. ��������~$f(z_0)$ ��� $\prec$\� �����������
��������~$z_0$ �� ������� ������ ����~$a$, ����~$z_0$
(���������\� ����~$z_0 \hm> a$). ��������~$f(z)$ ��� ���������~$z$
���� ���� ������� ������� ��������~$f(z')$ ���~$z'\hm\prec z$
(�� �������������
% ---------------------------- �������� 89 ----------------------------------
�������� ��������� ����� �������� �������
����������� � ������ ����� ��������� �������
�������~$\alpha$), ���� ����~$z$ (���������\� ����~$z\hm>\alpha$).

� ���� ������������ ��������� �������� �������~$f$ �������
����������� � ����� ������� �������. ��� ������� (���������
ţ~$\beta$) ������ ��� �����~$a$ (������� ����~$f(z_0)$) �
�������� ������� ������������ ���������: ����~$\beta \hm< z$ ���
����������~$z$, ��~$f(z)\hm\le\beta\hm<z$, ��� ������������
��������~(3).

\begin{problem}
        %
��������� ��� ����������� ��������.
        %
\end{problem}

\problskip
������ �������� �������������� ������� � ������, ��������� �����~�����.
�����~$V$\� ������������ ��������� ������������.
���������� �������� ������������� ���������~$Z$, ��������� ��
������� ����������� ����������� ������������~$V$. �������
��~$Z$ �������� ����������~\�� ���� �������������\��.

��������, ��� ������� ����� ���������. ����� ������� ���������
����, �� ���� ��������� ������� ����������� ��������, ���ޣ�
����� ��� ��������� ����� ��������� ��������. ��������� ��� ���
��������� � �������, ��� ���������� ��������� ����� �������
����������� (��� ����� ��� ����� ������� �������� ���������
����). � ����� ����, ������������� �������� ���������� ��������
� ���� �����\� �� �������� ����� ��������, ������ �� ������
���������. ���� �������� �������� �����, � ������ ����� ��� ����
���������� �� ��������� (� �������� ������� �������������
��������� ���� ���������� �������). ��� ���������� ���������
�������� ��� ������� ������������� �������� ����������, �
������� ���������� �� �������������, ��� ��� ���� �������������
�������� ���������� ������� �� ����.

����� �������, ����� ��������� ����� ����� � ���������, ���
����� ������� ����������� ��������� �������� ���������� �
������������ ������� ����������� ��������� ��������. � ����
��� ������ �������� �� ������ �������, �� ������ ��������
�����������, � ��� �������� �������
�������.

% ---------------------------- �������� 90 -----------------------------------
����������� ������� ����� �������� ������������� ��������������
������ �
������������ ������������ (��� ����������� ������ ������: �����������
����������� �������� ����������, ���������� ��� ����� �����) ���
������������� ������ ����������������� (������������
������������� ����������� ������� ��������� � ���������� �����).

�� �����ģ� ������ ������ ���������� �����~�����, ���
���������� ��� ��������� ��� �������.

\begin{theorem}
        \label{partial-to-linear}%
������ ��������� �������\index{��������� �������} ����� ���� ��������� ��
        \index{���������!���������� �������}%
        \index{���������!��������� �������}%
���������\index{�������� �������}.
        %
\end{theorem}

\begin{proof}
        %
����� $(X,\le)$\� �������� ������������� ���������. �������
����������, ��� ���������� ��������� �������~$\le'$ ��~$X$,
������������ �������� (��� ������, ���~$x\hm\le y\Rightarrow x \le'
y$) � ���������� ���������� ��������� �������. (������,
�������, ��� ����� \�� ���������\��\ � ������������ �������
������ �������� �� ����� \�� �������\��\� ��������, ���� ��������
������� ��������, �� �� ������.)

�������� � ���������� �����~�����, ���������� ��������
������������� ���������~$Z$, ���������� �������� ����� ���������
������� ��~$X$ (�� ���� ������������ ���������~$X\hm\times X$, ����������
���������� ��������������, �������������� � ������������������),
������������� �� ���������: $\le_1$~��������� ������� ���
������~$\le_2$, ���� $\le_2$~���������� $\le_1$ (�� $x\le_1 y$
�������~$x\le_2 y$).

����� ���������, ��� ������� �����~����� ���������: ����
� ��� ���� ��������� ��������� ��������, ������� �������������
�� ���������, �� ����������� ���� �������� �������� ���������
��������, � ���� ������� ����� ������� �������� ���������.
(��������, ��������, ��� ����������� �������� ���������
��������������. ����� $x\le_1 y$ � ����� �� �������� ��������� $(\le_1)$,
� $y\le_2 z$ � ������; ���� �� �������� (��������,~$\le_1$) ����������
������, ����� $x\le_1 y \le_1 z$ � ������ $x\hm\le z$ � �����������.
�������������� � ������������������ ����������� ����� �� ������.)

�������������, �� �����~����� �� ���������~$X$ ����������
������������ ��������� �������, ������������
% ---------------------------- �������� 91 ----------------------------------
��������. ���������
��� ��� $\le$ (�������� � �������� �������� �� ���������,
��� ��� �������� ��� ������ �� �����). ��� ���� ��������, ��� ��
����� ��������. �����
$x,y\hm\in X$\� ��� ����������� ��������. �������� ������� ��
������ �������~$\le'$, ��� ������� $x\le' y$. ���� ����� �������
������������ ���:
$a\le'
b$, ���� (1)~$a\le b$ ��� (2)~$a\le x$ �~$y\hm\le b$.
�������� ���������, ��� $\le'$~�����
��������� ��������. �������������� ��������. ��������������:
���� $a\le'b$ � $b\le' c$, �� ���� ������ �����������. ���� �
����� ������� ����� ����� ������~(1), �� $a\hm\le b \hm\le c$ � �ӣ
��������. ���� $a\le' b$ � ����~(1), � $b\le c$ � ����~(2), ��
$a\hm\le b\hm\le x$ � $y\hm\le c$, ��� ��� $a \le' c$ � ����~(2).
���������� ��������������� � ������������ ������. �������,
���������� ������ ��~(2) ����������, ��� ��� ����� $(a\hm\le x)$,
$(y\hm\le b)$, $(b\hm\le x)$ �~$(y\hm\le c)$, � ����������, ��� $y\hm\le b\hm\le x$,
� �� ������������, ��� $x$ �~$y$ �� ��������. ������������������
������������ ����������. ����� �������, ���������~$\le'$ �����
��������� ��������, ������ ����������~$\le$, ��� ������������
��������������.
        %
\end{proof}

\begin{problem}
        %
��������, ��� ����� �������� ��������� ��� ������ (����
����������, ���� $xRx$, ��� $xRyRx$, ��� $xRyRzRx$ \���) �����
���� ���������� �� ��������� �������. (��� �������� ��������
����� ������ ����������� ������ �������� \�� ��������������
�����������\index{�������������� ����������}\��.)
        %
\end{problem}

\begin{problem}
        %
��������� �� ��������� ���������� \emph{��������}, ���� ������ � ������
����� ������� ��� �������� ����������� �� �������. ��������, ���
����� ��� ���������������� �������� ��������� ����� ��������� ������
(������ ��������� ����� �� ���� ������� �� ������, ��������, �����������
� ���). (��������. ��������� ����� �����, ����� ��������� ��������
���������������� ���������~$A$ �~$B$ �� ������� ��������������
�������� ��������~$A'$ � $B'$. ����� ����� ���������, ���
������� �����~$A'$ �~$B'$ ������������ ����� ������.)
        %
\end{problem}

\section{�������� �������� ���
����������}\label{cardinal-operations-revisited}

������ �� ����� �������� ��������� ����������� � ���������.

\begin{theorem}
        %
���� $A$~����������, �� ���������~$A\hm\times\bbN$~����������~$A$.
        %
\end{theorem}

\begin{proof}
        %
������ ���������� ���������~$A$. �� ��� �����
(��.~�.~\pageref{limit-natural}), ��� ������ ������� ���������~$A$
���������� �������������� � ����~$z\hm+n$, ��� $z$\� ����������
������� (�� ������� ��������������� �����������), � $n$\�
����������� �����. ��� ��������, ��� $A$~����������~$B\hm\times\bbN$,
��� $B$\� ��������� ���������� ���������. (��� ���� ���������
���������\� ��������� ������ ���������
% ---------------------------- �������� 92 ----------------------------------
�������, ���� � ��������� ���� ���������� �������. �� �� ��� �����,
��� ���������� ��������� ��� �ޣ����� ��������� �� ������
��������, ��� ��� ���� ����� ����������.)

������ ����������� �������
��������: $A\hm\times\bbN$~����������
$(B\hm\times\bbN)\hm\times\bbN$, �� ����
$B\hm\times(\bbN\hm\times\bbN)$ � ��� �����
$B\hm\times\bbN$ (������������ �ޣ���� ��������
�ޣ���), �� ����~$A$.
        %
\end{proof}

�� ������� �������\�
����������\index{�������!�������\� �ң����\� ����������}
������ �������, ���
������������� �������� (� ���������,~$|A|\hm+|A|$, � ����� �����
������������~$A$ � ���������
���������) ��������� �~$|A|$. �ݣ ���� ��������� �������
��������:

\begin{theorem}
        \label{adding-cardinals}
�����\index{����� ���������}\index{��������!�����} ���� �����������
��������� ����� �� ���������.
        %
\end{theorem}

\begin{proof}
        %
������ ����� ��������, ��� ����� ��� �������� ��������
(�������~\ref{zermelo-cardinals-comparing},
�.~\pageref{zermelo-cardinals-comparing}). �����, ������,~$|A|\hm\le |B|$.
����� $|B|\hm\le |A|+|B| \hm\le |B|+|B| \hm\le
|B|\hm\times\aleph_0 \hm= |B|$ (��������� �����������\� �����������
���������� �������). �������� ��������������� �������� �������\�
���������� � ���������, ���~$|B|\hm=|A\hm+B|$.
        %
\end{proof}

������ �����  �������� ����� ������� �����������.

\begin{theorem}
        \label{cardinal-squared}%
���� $A$~����������, �� $A\hm\times A$ ����������~$A$.
        %
\end{theorem}

\begin{proof}
        %
�������, ��� ��� �ޣ����� ��������� (���, �������, � ���
����������\� �� ��� ������ �� �����) �� ��� ��� �����.
������� �~$A$ ���� ������������, ����������� ������
��������.

���������� ��������� ���� ����� ����������� ������ �
���������������� ���������. ���������� ����� ��������� �����
����~$\langle B, f\rangle$, ��� $B$\� ������������~$A$, �
$f\colon B\hm\to B\hm\times B$\� ������� ����������� ������������. ���ģ� ��
���� ��������� ��������� �������: $\langle B_1, f_1\rangle\hm\le
\langle B_2,f_2\rangle$, ����~$B_1 \hm\subset B_2$ � �����������
�����������~$f_2$ ��~$B_1$ ��������� �~$f_1$ (���.~\ref{card-1}).

\begin{figure}[ht]
        $$
\unitlength=0.5mm
\begin{picture}(50,55)
\put(0,0){\line(1,0){50}}
\put(0,50){\line(1,0){50}}
\put(0,0){\line(0,1){50}}
\put(50,0){\line(0,1){50}}
        %
\put(20,0){\line(0,1){20}}
\put(0,20){\line(1,0){20}}
        %
\put(10,-7){\hbox to 0pt{\hss $B_1$\hss}}
\put(25,53){\hbox to 0pt{\hss $B_2$\hss}}
\put(-2,7){\hbox to 0pt{\hss $B_1$}}
\put(52,23){\hbox to 0pt{$B_2$\hss}}
        %
\end{picture}
        $$
\caption{
�����������~$f_1$\� ������� ����������� ������������
����� ����� ��������� � ��� ��������; $f_2$~��������� � ����
������� ����������� ������������ ����� $B_2\hm\setminus B_1$ �
\�� �������\��\ $(B_2\hm\times B_2)\setminus(B_1\hm\times B_1)$.
        }
\label{card-1}
\end{figure}

������ �������� �����~�����. ��� ����� ����� ���������, ��� �����
������� ������������� (� ������ ���������� �������) ���������
��� ���������� ���� ����� ������� �������. � ����� ����,
��������� ��� ������ ����������
���� ���; ����� $B$\� ��
�����������. ��� ������, ��������������� �����������
(������������� ������������ �������) ��������� ���������
����������� � ����. ��� ����������� (����ף� ���~$f$) ����������~$B$
�~$B\hm\times B$. ��� ����� ���������: ��������~$f(b')$ �~$f(b'')$
��� ��������� $b'$ �~$b''$ �������� (����ͣ� �������
�� ��������, ������� ����������� $b'$ �~$b''$; �� Σ� $f$~��������
��������� �� �������������). � ������ �������, $f$~��������
����������: ��� ����� ���� $\langle b',b''\rangle\hm\in B\hm\times B$
����ͣ� ���������, �� ������� ��������� $b'$ � $b''$, �������
�� ��� ������� � ��������, ��� �� ����� ������� �����������
������������ ����� ��� � ��� ���������.

�� �����~����� � ����� �������� ������������� ���������
���������� ������������ �������. ����� ���� �������
����~$\langle B,f\rangle$. �� �����, ��� $f$ ���� ������� �����������
������������ �����~$B$ �~$B\hm\times B$ � ������~$|B|\hm=|B|\hm\times|B|$.
������ ���� ��� �����������. ���� $B$~����������~$A$,
�� $B\hm\times B$ ����������~$A\hm\times A$ � �ӣ
��������. �������� ����������� ������, ����� $B$~�� ����������~$A$,
�� ���� ����� ������� �������� (������� ��� ����� �� �����,
������ �������������). �����
$C$\� ���������� �����~$A$, ��
����~$A\hm\setminus B$. ����� $|A|\hm=|B|\hm+|C|\hm=\max(|B|,|C|)$,
�������������, $C$~����������~$A$ � ������~$B$ �� ��������.
����ͣ� �~$C$ �����~$C'$, �����������~$B$, � �������~$B'\hm=B\hm+C'$
(���.~\ref{card-2}).
        %
\begin{figure}[ht]
        $$
\unitlength=0.5mm
\begin{picture}(50,55)
\put(0,0){\line(1,0){50}}
\put(0,50){\line(1,0){50}}
\put(0,0){\line(0,1){50}}
\put(50,0){\line(0,1){50}}
        %
\put(20,0){\line(0,1){40}}
\put(40,0){\line(0,1){40}}
\put(0,20){\line(1,0){40}}
\put(0,40){\line(1,0){40}}
        %
\put(10,-7){\hbox to 0pt{\hss $B$\hss}}
\put(30,-7){\hbox to 0pt{\hss $C'$\hss}}
\put(25,53){\hbox to 0pt{\hss $A$\hss}}
\put(-2,7){\hbox to 0pt{\hss $B$}}
\put(-2,27){\hbox to 0pt{\hss $C'$}}
\put(52,23){\hbox to 0pt{$A$\hss}}
        %
\end{picture}
        $$
\caption{����������� ������������ � $B$ �� $B'=B+C'$.}
\label{card-2}
\end{figure}
        %
��� ����� ���������~$B'$ ����������~$B$. ������� $B'\hm\times B'$~�����������
�� $4$~�����, ������ �� ������� ����������~$B\hm\times B$, �, �������������,
����������~$B$ (��������, ��� � ��� ����
������� ����������� ������������~$f$ �����~$B$ �~$B\hm\times B$).
������������~$f$ ����� ���������� �� ������������~$f'$ �����~$B'$
�~$B'\hm\times B'$, �������� ��� ������������� �����~$C'$
� $(B'\hm\times B')\hm\setminus(B\hm\times B)$ (��� �������� ������� �� �ң�
��������, �����������~$B$, ��� ��� ����������~$B$).
� ����� �� �������� �\'������ ����~$\langle B',f'\rangle$,
��� ������������ ����������� �����~����� � ��������������.
����� �������, ���� ������ ����������.
        %
\end{proof}

������� ������ ��������� ��������� �� ����������� �����������.

\begin{theorem}
        \label{sequences-cardinality}%
(\textsf{�})~%
������������\index{������������ ���������}\index{��������!������������} ����
����������� ��������� ����� ������� �� ���.
        %
(\textsf{�})~%
���� ��������� $A$ ����������, �� ��������� $A^n$ ����
������������������� ����� $n\hm>0$, ������������ �� ���������~$A$,
����������~$A$.
        %
(\textsf{�})~%
���� ���������~$A$ ����������, �� ��������� ���� ��������
�������������������, ������������ �� ���������~$A$, ����������~$A$.
        %
\end{theorem}

\begin{proof}
        %
������ ����������� ������������ ������: ���� $|A|\hm\le |B|$,
�� $|B|\hm\le |A|\hm\times |B| \hm\le |B|\hm\times |B| \hm= |B|$.

������ ����������� ����� ������������ ���������
% ---------------------------- �������� 95 ----------------------------------
��~$n$: ����
$|A^n|\hm=|A|$, �� $|A^{n+1}|\hm=|A^n|\hm\times |A|\hm=|A|\hm\times |A|\hm=|A|$.

������ ���� ������: ��������� �������� �������������������
���� $1\hm+A\hm+A^2\hm+A^3\hm+\ldots$; ������ ��
������ (����� ������, ������� ����� ����������) ����������~$A$
(�� �����������), � ������ �ӣ ������
���� $|A|\hm\times\aleph_0\hm=|A|$.
        %
\end{proof}

�������, ��� �� ���������� ����������� ������� ��������, ���
��������� ���� �������� ����������� ������������ ���������~$A$
����� �� �� ��������, ��� �~$A$ (����������� �� ������, ���
�������� ������������������� � �� ������, ��� ��������������
�����������).

\begin{problem}
        %
����� $A$ ����������. ��������, ���
$|A^A|=|2^A|$.
        %
\end{problem}

\begin{problem}
        %
���������� ��������
$\alpha\hm=\aleph_0\hm+2^{\aleph_0}\hm+2^{(2^{\aleph_0})}\hm+\ldots$
(�ޣ���� �����). ��������, ��� $\alpha$\� ����������� ��������,
������� ������ ��������� �������� $\bbN$, $P(\bbN)$, $P(P(\bbN))$, $\dots$
��������, ��� $\alpha^{\aleph_0}\hm=2^{\alpha}\hm>\alpha$.
        %
\end{problem}

������ �� ����� �������� ������������� ����� �����������
� ������������� �������\index{������������� �������}.
        %
\begin{theorem}
        \label{dimension-correctness}%
����� ��� ������ � ���������������� ��������� ������������
����� ���������� ��������.
        %
\end{theorem}

\begin{proof}
        %
����� ���� ��� ������\� ������ � ������. ��� ������� �������
�� ������� ������ ��������� �����\� ����\- ������ �������� ���
����� ������� ������� ������. � ���� ��������� ���������
�������� ��������� �������� ������� ������. ����� �������,
���� ��������� �������, ������� ������� ������� �������
������ ������ � ������������ ��������� �������� ���������
�������� �������. ��� �� ������ ��� ������, ��������� �������� ����
������� ������� ��, ������� ��������� �� ������ ������.
����� ����, �������� ������� �������� ������� �� ��������
������� ������, ������������ ����� ������ (��������) ����� ��������
�������, � ������ �������. �������, ��� ������ �����
������ �� ������, ������ ������ �������, � ����� ����� ��
������, ��� �������� �� ������ ������. �������
�������� ������� ������ �� ����������� �������� �������,
���������� ��~$\aleph_0$ (�� ����, ��� �� �����, ��������
������������ ��������� �� ��������). �������� �������� ������������
����������� � ��������� �� ������� �������\� ����������.
        %
\end{proof}
